Matemáticas
Estudio de funciones: del dominio a la gráfica
Escribe la función y obtén todo el estudio en el orden en que se hace en el cuaderno, con valores exactos donde existen: √3 y no 1,732, 2 − √3 y no 0,268.
El orden de un estudio de funciones, y por qué es ese
Un estudio de funciones es una secuencia en la que cada paso prepara el siguiente. El dominio va primero porque todo lo demás ocurre dentro de él: un cero fuera del dominio no es un cero, y los límites se calculan justo donde el dominio termina. Las simetrías van después porque reducen el trabajo a la mitad: en una función par o impar, lo que vale para x positivos ya se sabe para x negativos.
Siguen los cortes con los ejes y el signo, que ya fijan la forma general: dónde la gráfica está por encima del eje x y dónde por debajo. Los límites en los extremos del dominio dicen cómo se comporta allí, y cada límite infinito en un punto finito es una asíntota vertical. En ±∞ un límite finito da una asíntota horizontal; uno infinito puede esconder una asíntota oblicua, y = mx + n, con m = lim f(x)/x y n = lim (f(x) − mx).
Las derivadas afinan el dibujo. Donde f′ es positiva la función crece, donde es negativa decrece, y un cambio de signo marca un máximo o un mínimo. f″ hace lo mismo con la curvatura: positiva donde es cóncava hacia arriba, negativa donde es cóncava hacia abajo, y un cambio de signo es un punto de inflexión. Solo al final, con todos los puntos y todas las asíntotas, se dibuja la gráfica.
Errores frecuentes
- Llamar máximo o mínimo a cualquier cero de f′. Lo que decide es el cambio de signo: x³ tiene f′(0) = 0 y sigue creciendo, así que 0 es un punto de inflexión con tangente horizontal.
- Buscar extremos solo donde f′ = 0. En un punto anguloso o en una cúspide f′ no existe, y |x| tiene su mínimo justo ahí.
- Olvidar el dominio al decir dónde crece una función: 1/x es decreciente en (−∞; 0) y en (0; +∞), no en todo ℝ, ya que 1/(−1) < 1/1.
- Buscar una asíntota oblicua donde ya hay una horizontal por el mismo lado: cuando x → +∞ una función puede tener una u otra, nunca las dos.
Preguntas frecuentes
¿Cuáles son los pasos de un estudio de funciones?
Dominio, simetrías, cortes con los ejes, signo, límites en los extremos del dominio y asíntotas, primera derivada con intervalos de crecimiento y decrecimiento y puntos críticos, segunda derivada con concavidad e inflexiones, y por último la gráfica.
¿Cómo distingo un máximo de un mínimo?
Por el signo de f′ a la izquierda y a la derecha del punto. Si pasa de positivo a negativo la función deja de crecer y empieza a decrecer: es un máximo. De negativo a positivo: un mínimo. Si el signo no cambia, el punto no es ninguno de los dos.
¿Qué es un punto de inflexión?
Un punto de la gráfica donde cambia la concavidad, de hacia arriba a hacia abajo o al revés. Se encuentra donde f″ cambia de signo; si ahí también se anula f′, es un punto de inflexión con tangente horizontal.
¿Por qué algunos valores llevan ≈?
Ceros y límites se buscan numéricamente y después se reconocen: una fracción, un múltiplo de π, una raíz como 2 − √3 o una potencia de e se escriben en forma exacta. Un valor que no es ninguno de ellos, como la solución de cos x = x, se muestra con una aproximación decimal.
¿Funciona con funciones trigonométricas?
Sí, pero una función periódica tiene infinitos ceros y extremos, así que se enumeran en un intervalo, de −2π a 2π si no eliges otro. El dominio, los límites y las asíntotas se dan completos siempre que la función lo permite.
Cómo funciona este cálculo
Las condiciones de existencia se leen en la expresión: denominador ≠ 0, radicando de una raíz de índice par ≥ 0, argumento del logaritmo > 0, argumento de arcoseno y arcocoseno entre −1 y 1, cos u ≠ 0 para tan u. f′ y f″ se calculan simbólicamente con las reglas de derivación. Los ceros de f, f′ y f″ se encuentran por bisección en una malla fina, y los ceros dobles minimizando |f|. Los límites se leen en los valores de f al acercarse al punto, donde las diferencias dejan de reducirse antes de que domine el error de redondeo. Asíntota vertical x = a si un límite lateral en a es infinito; asíntota horizontal y = L si lim x→±∞ f(x) = L; asíntota oblicua y = mx + n con m = lim f(x)/x ≠ 0 y n = lim (f(x) − mx), ambos finitos. Máximo donde f′ pasa de + a −, mínimo de − a +; inflexión donde f″ cambia de signo.
Cálculos relacionados
Dominio de una función
Las condiciones de existencia y el dominio escrito como unión de intervalos.
Límites
Límites laterales y en el infinito, con la indeterminación de partida.
Asíntotas
Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas, con los límites que las demuestran.
Derivadas
Derivada de una función y reglas usadas para obtenerla.