Matemática
Estudo de funções: do domínio ao gráfico
Escreva a função e obtenha todo o estudo na ordem em que se faz no caderno, com valores exatos onde existem: √3 e não 1,732, 2 − √3 e não 0,268.
A ordem de um estudo de funções, e por que é essa
Um estudo de funções é uma sequência em que cada passo prepara o seguinte. O domínio vem primeiro porque todo o resto acontece dentro dele: uma raiz fora do domínio não é raiz, e os limites são calculados justamente onde o domínio termina. As simetrias vêm em seguida porque cortam o trabalho pela metade: numa função par ou ímpar, o que vale para x positivo já se sabe para x negativo.
Depois vêm as interseções com os eixos e o sinal, que já fixam a forma geral: onde o gráfico fica acima do eixo x e onde fica abaixo. Os limites nos extremos do domínio dizem como a função se comporta ali, e cada limite infinito num ponto finito é uma assíntota vertical. Em ±∞ um limite finito dá uma assíntota horizontal; um infinito pode esconder uma assíntota oblíqua, y = mx + n, com m = lim f(x)/x e n = lim (f(x) − mx).
As derivadas refinam o desenho. Onde f′ é positiva a função cresce, onde é negativa decresce, e uma troca de sinal marca um máximo ou um mínimo. f″ faz o mesmo com a curvatura: positiva onde a concavidade é para cima, negativa onde é para baixo, e uma troca de sinal é um ponto de inflexão. Só no fim, com todos os pontos e todas as assíntotas em mãos, se desenha o gráfico.
Erros frequentes
- Chamar de máximo ou mínimo qualquer raiz de f′. O que decide é a troca de sinal: x³ tem f′(0) = 0 e continua crescendo, então 0 é um ponto de inflexão com tangente horizontal.
- Procurar extremos só onde f′ = 0. Num ponto anguloso ou numa cúspide f′ não existe, e |x| tem seu mínimo justamente ali.
- Esquecer o domínio ao dizer onde uma função cresce: 1/x é decrescente em (−∞; 0) e em (0; +∞), não em todo ℝ, já que 1/(−1) < 1/1.
- Procurar uma assíntota oblíqua onde já existe uma horizontal do mesmo lado: quando x → +∞ uma função tem uma ou outra, nunca as duas.
Perguntas frequentes
Quais são os passos de um estudo de funções?
Domínio, simetrias, interseções com os eixos, sinal, limites nos extremos do domínio e assíntotas, derivada primeira com intervalos de crescimento e decrescimento e pontos críticos, derivada segunda com concavidade e inflexões, e por fim o gráfico.
Como distinguir um máximo de um mínimo?
Pelo sinal de f′ à esquerda e à direita do ponto. Se passa de positivo a negativo, a função para de crescer e começa a decrescer: é um máximo. De negativo a positivo: um mínimo. Se o sinal não muda, o ponto não é nenhum dos dois.
O que é um ponto de inflexão?
Um ponto do gráfico onde a concavidade muda, de para cima para para baixo ou o contrário. É encontrado onde f″ troca de sinal; se ali também f′ se anula, é um ponto de inflexão com tangente horizontal.
Por que alguns valores têm ≈?
Raízes e limites são procurados numericamente e depois reconhecidos: uma fração, um múltiplo de π, uma raiz como 2 − √3 ou uma potência de e são escritos na forma exata. Um valor que não é nenhum desses, como a solução de cos x = x, aparece com uma aproximação decimal.
Funciona com funções trigonométricas?
Sim, mas uma função periódica tem infinitas raízes e extremos, então eles são listados num intervalo, de −2π a 2π se você não escolher outro. O domínio, os limites e as assíntotas são dados por inteiro sempre que a função permite.
Como funciona este cálculo
As condições de existência são lidas na expressão: denominador ≠ 0, radicando de raiz de índice par ≥ 0, argumento do logaritmo > 0, argumento de arco-seno e arco-cosseno entre −1 e 1, cos u ≠ 0 para tg u. f′ e f″ são calculadas simbolicamente com as regras de derivação. As raízes de f, f′ e f″ são encontradas por bisseção numa malha fina, e as raízes duplas minimizando |f|. Os limites são lidos nos valores de f ao se aproximar do ponto, onde as diferenças param de diminuir antes que o erro de arredondamento prevaleça. Assíntota vertical x = a se um limite lateral em a é infinito; assíntota horizontal y = L se lim x→±∞ f(x) = L; assíntota oblíqua y = mx + n com m = lim f(x)/x ≠ 0 e n = lim (f(x) − mx), ambos finitos. Máximo onde f′ passa de + para −, mínimo de − para +; inflexão onde f″ troca de sinal.
Calculadoras relacionadas
Domínio de uma função
As condições de existência e o domínio escrito como união de intervalos.
Limites
Limites laterais e no infinito, com a indeterminação de partida.
Assíntotas
Assíntotas verticais, horizontais e oblíquas, com os limites que as comprovam.
Derivadas
A derivada de uma função e as regras usadas para chegar a ela.