Mathematik
Kurvendiskussion: vom Definitionsbereich zum Graphen
Gib die Funktion ein und erhalte die ganze Diskussion in der Reihenfolge, in der sie auf Papier gemacht wird, mit exakten Werten, wo es sie gibt: √3 statt 1,732, 2 − √3 statt 0,268.
Die Reihenfolge einer Kurvendiskussion, und warum es diese ist
Eine Kurvendiskussion ist eine Folge, in der jeder Schritt den nächsten vorbereitet. Der Definitionsbereich kommt zuerst, weil alles andere darin stattfindet: Eine Nullstelle außerhalb ist keine Nullstelle, und Grenzwerte werden genau dort untersucht, wo der Definitionsbereich endet. Die Symmetrie folgt, weil sie die Arbeit halbiert: Bei einer geraden oder ungeraden Funktion ist, was für positive x gilt, auch für negative bekannt.
Dann kommen Achsenschnittpunkte und Vorzeichen, die schon die grobe Form festlegen: wo der Graph über der x-Achse liegt und wo darunter. Die Grenzwerte an den Rändern des Definitionsbereichs zeigen das Verhalten dort, und jeder unendliche Grenzwert an einer endlichen Stelle ist eine senkrechte Asymptote. Bei ±∞ ergibt ein endlicher Grenzwert eine waagerechte Asymptote; ein unendlicher kann eine schiefe Asymptote y = mx + b verbergen, mit m = lim f(x)/x und b = lim (f(x) − mx).
Die Ableitungen verfeinern das Bild. Wo f′ positiv ist, steigt die Funktion, wo sie negativ ist, fällt sie, und ein Vorzeichenwechsel markiert einen Hoch- oder Tiefpunkt. f″ tut dasselbe für die Krümmung: positiv bei Linkskrümmung, negativ bei Rechtskrümmung, und ein Vorzeichenwechsel ist ein Wendepunkt. Erst am Ende, mit allen Punkten und Asymptoten, wird der Graph gezeichnet.
Häufige Fehler
- Jede Nullstelle von f′ als Hoch- oder Tiefpunkt bezeichnen. Entscheidend ist der Vorzeichenwechsel: x³ hat f′(0) = 0 und steigt weiter, 0 ist also ein Sattelpunkt.
- Extrema nur dort suchen, wo f′ = 0 ist. An einem Knick oder einer Spitze existiert f′ nicht, und |x| hat genau dort sein Minimum.
- Bei der Monotonie den Definitionsbereich vergessen: 1/x ist auf (−∞; 0) und auf (0; +∞) fallend, nicht auf ganz ℝ, denn 1/(−1) < 1/1.
- Eine schiefe Asymptote suchen, wo es auf derselben Seite schon eine waagerechte gibt: Für x → +∞ hat eine Funktion die eine oder die andere, nie beide.
Häufige Fragen
Welche Schritte hat eine Kurvendiskussion?
Definitionsbereich, Symmetrie, Schnittpunkte mit den Achsen, Vorzeichen, Grenzwerte an den Rändern und Asymptoten, erste Ableitung mit Monotonie und Extrempunkten, zweite Ableitung mit Krümmung und Wendepunkten, und zum Schluss der Graph.
Wie unterscheide ich Hochpunkt und Tiefpunkt?
Am Vorzeichen von f′ links und rechts der Stelle. Wechselt es von plus nach minus, hört die Funktion auf zu steigen und beginnt zu fallen: ein Hochpunkt. Von minus nach plus: ein Tiefpunkt. Ohne Vorzeichenwechsel ist es keins von beiden.
Was ist ein Wendepunkt?
Ein Punkt des Graphen, an dem die Krümmung wechselt, von links nach rechts oder umgekehrt. Er liegt dort, wo f″ das Vorzeichen wechselt; ist dort auch f′ = 0, ist es ein Sattelpunkt mit waagerechter Tangente.
Warum stehen manche Werte mit ≈ da?
Nullstellen und Grenzwerte werden numerisch gesucht und dann erkannt: Ein Bruch, ein Vielfaches von π, eine Wurzel wie 2 − √3 oder eine Potenz von e wird exakt geschrieben. Ein Wert, der nichts davon ist, etwa die Lösung von cos x = x, erscheint als Dezimalnäherung.
Funktioniert es auch mit trigonometrischen Funktionen?
Ja, aber eine periodische Funktion hat unendlich viele Nullstellen und Extrema, daher werden sie in einem Bereich aufgelistet, von −2π bis 2π, wenn du keinen anderen wählst. Definitionsbereich, Grenzwerte und Asymptoten werden vollständig angegeben, wo die Funktion es zulässt.
So funktioniert die Berechnung
Die Bedingungen werden aus dem Ausdruck gelesen: Nenner ≠ 0, Radikand einer Wurzel mit geradem Index ≥ 0, Argument des Logarithmus > 0, Argument von Arkussinus und Arkuskosinus zwischen −1 und 1, cos u ≠ 0 für tan u. f′ und f″ werden symbolisch mit den Ableitungsregeln berechnet. Nullstellen von f, f′ und f″ werden per Bisektion auf einem feinen Gitter gefunden, doppelte Nullstellen durch Minimieren von |f|. Grenzwerte werden an den Werten von f auf dem Weg zur Stelle abgelesen, dort, wo die Unterschiede nicht mehr kleiner werden, bevor Rundungsfehler überwiegen. Senkrechte Asymptote x = a, wenn ein einseitiger Grenzwert bei a unendlich ist; waagerechte Asymptote y = L, wenn lim x→±∞ f(x) = L; schiefe Asymptote y = mx + b mit m = lim f(x)/x ≠ 0 und b = lim (f(x) − mx), beide endlich. Hochpunkt, wo f′ von + nach − wechselt, Tiefpunkt von − nach +; Wendepunkt, wo f″ das Vorzeichen wechselt.
Verwandte Rechner
Definitionsbereich
Die Bedingungen für den Definitionsbereich und die Menge als Vereinigung von Intervallen.
Grenzwerte
Links- und rechtsseitige Grenzwerte, im Unendlichen, mit der unbestimmten Form.
Asymptoten
Senkrechte, waagerechte und schiefe Asymptoten mit den Grenzwerten, die sie belegen.
Ableitungen
Die Ableitung einer Funktion und die Regeln, die dazu nötig waren.