Mathématiques
Étude de fonction : du domaine à la courbe
Écrivez la fonction et obtenez toute l'étude dans l'ordre où elle se fait sur le cahier, avec des valeurs exactes quand elles existent : √3 plutôt que 1,732, 2 − √3 plutôt que 0,268.
L'ordre d'une étude de fonction, et pourquoi c'est celui-là
Une étude de fonction est une suite où chaque étape prépare la suivante. Le domaine vient d'abord, parce que tout le reste se passe à l'intérieur : un zéro hors du domaine n'est pas un zéro, et les limites se calculent justement là où le domaine s'arrête. La parité vient ensuite, parce qu'elle divise le travail par deux : pour une fonction paire ou impaire, ce qui vaut pour x positif est déjà connu pour x négatif.
Viennent ensuite les intersections avec les axes et le signe, qui fixent déjà l'allure générale : où la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses et où en dessous. Les limites aux bornes du domaine disent comment elle s'y comporte, et chaque limite infinie en un point fini est une asymptote verticale. En ±∞, une limite finie donne une asymptote horizontale ; une limite infinie peut cacher une asymptote oblique y = ax + b, avec a = lim f(x)/x et b = lim (f(x) − ax).
Les dérivées affinent le dessin. Là où f′ est positive la fonction croît, là où elle est négative elle décroît, et un changement de signe marque un maximum ou un minimum. f″ fait de même pour la courbure : positive là où la fonction est convexe, négative là où elle est concave, et un changement de signe est un point d'inflexion. C'est seulement à la fin, avec tous les points et toutes les asymptotes, qu'on trace la courbe.
Erreurs fréquentes
- Appeler maximum ou minimum tout zéro de f′. Ce qui décide, c'est le changement de signe : x³ a f′(0) = 0 et continue de croître, donc 0 est un point d'inflexion à tangente horizontale.
- Chercher les extremums seulement là où f′ = 0. En un point anguleux ou de rebroussement f′ n'existe pas, et |x| a justement son minimum là.
- Oublier le domaine en donnant les variations : 1/x est décroissante sur ]−∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[, pas sur ℝ tout entier, puisque 1/(−1) < 1/1.
- Chercher une asymptote oblique là où il y a déjà une asymptote horizontale du même côté : en +∞ une fonction a l'une ou l'autre, jamais les deux.
Questions fréquentes
Quelles sont les étapes d'une étude de fonction ?
Domaine, parité, intersections avec les axes, signe, limites aux bornes du domaine et asymptotes, dérivée avec les variations et les extremums, dérivée seconde avec la convexité et les points d'inflexion, et enfin la courbe.
Comment distinguer un maximum d'un minimum ?
Par le signe de f′ à gauche et à droite du point. S'il passe de positif à négatif, la fonction cesse de croître et commence à décroître : c'est un maximum. De négatif à positif : un minimum. Si le signe ne change pas, ce n'est ni l'un ni l'autre.
Qu'est-ce qu'un point d'inflexion ?
Un point de la courbe où la convexité change, de convexe à concave ou l'inverse. On le trouve là où f″ change de signe ; si f′ s'y annule aussi, c'est un point d'inflexion à tangente horizontale.
Pourquoi certaines valeurs sont-elles précédées de ≈ ?
Les zéros et les limites sont cherchés numériquement puis reconnus : une fraction, un multiple de π, une racine comme 2 − √3 ou une puissance de e s'écrivent sous forme exacte. Une valeur qui n'est rien de tout cela, comme la solution de cos x = x, est affichée avec une approximation décimale.
Est-ce que cela marche avec les fonctions trigonométriques ?
Oui, mais une fonction périodique a une infinité de zéros et d'extremums : ils sont donc listés sur un intervalle, de −2π à 2π si vous n'en choisissez pas un autre. Le domaine, les limites et les asymptotes sont donnés en entier chaque fois que la fonction le permet.
Comment fonctionne ce calcul
Les conditions d'existence se lisent sur l'expression : dénominateur ≠ 0, radicande d'une racine d'indice pair ≥ 0, argument du logarithme > 0, argument de l'arcsinus et de l'arccosinus entre −1 et 1, cos u ≠ 0 pour tan u. f′ et f″ sont calculées symboliquement avec les règles de dérivation. Les zéros de f, f′ et f″ sont trouvés par dichotomie sur une grille fine, et les zéros doubles en minimisant |f|. Les limites se lisent sur les valeurs de f en s'approchant du point, là où les écarts cessent de diminuer avant que l'erreur d'arrondi ne l'emporte. Asymptote verticale x = a si une limite latérale en a est infinie ; asymptote horizontale y = L si lim x→±∞ f(x) = L ; asymptote oblique y = ax + b avec a = lim f(x)/x ≠ 0 et b = lim (f(x) − ax), tous deux finis. Maximum là où f′ passe de + à −, minimum de − à + ; inflexion là où f″ change de signe.
Calculs liés
Domaine de définition
Les conditions d'existence et le domaine écrit comme réunion d'intervalles.
Limites
Limites à gauche, à droite et à l'infini, avec la forme indéterminée de départ.
Asymptotes
Asymptotes verticales, horizontales et obliques, avec les limites qui les justifient.
Dérivées
La dérivée d'une fonction et les règles utilisées pour l'obtenir.