Wzory trygonometryczne: połowa kąta, prostafereza, podwojenie

Do czego służą te wzory

Wzory trygonometryczne służą do przepisania wyrażenia w wygodniejszej postaci, a nie do uzyskania liczby: do tego wystarczy telefon. Wartość obok każdej tożsamości jest więc sprawdzeniem — mówi, że przekształcenie zgadza się dla Twoich kątów — natomiast wzór to coś, co zabierzesz do zadania.

Wzory na połowę kąta wyrażają sinus, cosinus i tangens α/2 wyłącznie przez cosinus α. W postaci klasycznej przed pierwiastkiem stoi ±, a wybór znaku zależy od ćwiartki, w której leży α/2: to najczęstszy błąd w zadaniach. Tutaj wartość liczona jest wprost z α/2, więc znak jest już poprawny i możesz nim sprawdzić własny wybór.

Wzory prostaferezy zamieniają sumy na iloczyny i najbardziej przydają się przy rozwiązywaniu równań: suma sinusów niełatwo się zeruje, iloczyn owszem, bo wystarczy, że wyzeruje się jeden czynnik. Wzory Wernera idą w drugą stronę i są potrzebne, gdy iloczyn trzeba scałkować lub uprościć.

Częste błędy

Pomyłka znaku we wzorach na połowę kąta: ± nie jest dowolnym wyborem, decyduje o nim ćwiartka α/2, a nie ćwiartka α.
Podstawianie stopni tam, gdzie wzór zakłada radiany: sprawdź wybraną jednostkę, zanim odczytasz wartości.
Zapominanie, że tangens i cotangens nie istnieją wszędzie: tan α nie jest określony dla 90°, a cot α dla 0°. W takim przypadku tabela to zaznacza, zamiast pokazywać ogromną liczbę.

Najczęstsze pytania

Czym są wzory prostaferezy?

To cztery tożsamości zamieniające sumę lub różnicę sinusów i cosinusów na iloczyn, na przykład sin α + sin β = 2·sin((α+β)/2)·cos((α−β)/2). Liczą się przede wszystkim w równaniach, bo iloczyn zeruje się, gdy tylko wyzeruje się jeden czynnik.

Dlaczego wzory na połowę kąta mają podwójny znak?

Ponieważ pierwiastek zawsze zwraca wartość dodatnią, a sinus i cosinus α/2 mogą być ujemne. O znaku decyduje ćwiartka, w której leży α/2: dla α = 300° mamy α/2 = 150°, czyli druga ćwiartka, gdzie cosinus jest ujemny.

Czy mogę pracować w radianach?

Tak, zmień jednostkę w selektorze. Kalkulator i tak pokazuje oba odczyty kąta, więc możesz potwierdzić, że wybrałeś właściwą jednostkę.

Jak działa to obliczenie

Połowa kąta: sin(α/2) = ±√((1−cos α)/2), cos(α/2) = ±√((1+cos α)/2), tan(α/2) = sin α/(1+cos α). Podwojenie: sin 2α = 2 sin α cos α, cos 2α = cos²α − sin²α, tan 2α = 2 tan α/(1−tan²α). Suma: sin(α±β) = sin α cos β ± cos α sin β, cos(α±β) = cos α cos β ∓ sin α sin β. Prostafereza: sin α + sin β = 2 sin((α+β)/2) cos((α−β)/2); sin α − sin β = 2 cos((α+β)/2) sin((α−β)/2); cos α + cos β = 2 cos((α+β)/2) cos((α−β)/2); cos α − cos β = −2 sin((α+β)/2) sin((α−β)/2). Werner: sin α sin β = ½[cos(α−β) − cos(α+β)]; cos α cos β = ½[cos(α−β) + cos(α+β)]; sin α cos β = ½[sin(α+β) + sin(α−β)].

Twierdzenie Pitagorasa

Brakująca przeciwprostokątna lub przyprostokątna, z polem, obwodem, kątami i twierdzeniami Euklidesa.

Rozwiązywanie trójkątów

Rozwiąż dowolny trójkąt z trzech miar, z przypadkiem niejednoznacznym włącznie.

Obwód i pole

Obwód, pole i wielkości pochodne dziewięciu figur płaskich, od kwadratu po elipsę.