Fórmulas trigonométricas: ángulo mitad y ángulo doble

Para qué sirven estas fórmulas

Las fórmulas trigonométricas sirven para reescribir una expresión en una forma más manejable, no para obtener un número: para eso basta el móvil. El valor junto a cada identidad es, por tanto, una comprobación —te dice que la reescritura se cumple en tus ángulos— mientras que la fórmula es lo que llevarás al ejercicio.

Las fórmulas del ángulo mitad expresan seno, coseno y tangente de α/2 usando solo el coseno de α. En la forma clásica aparece un ± delante del radical, y elegir el signo depende del cuadrante en que cae α/2: es el error más común en los ejercicios. Aquí el valor se calcula directamente sobre α/2, así que el signo ya es el correcto y puedes usarlo para comprobar tu elección.

Las fórmulas de prostaféresis convierten sumas en productos y son especialmente útiles al resolver ecuaciones: una suma de senos no se anula con facilidad, un producto sí, porque basta con que se anule un factor. Las fórmulas de Werner hacen el camino contrario y sirven cuando hay que integrar o simplificar un producto.

Errores frecuentes

Equivocar el signo en las fórmulas del ángulo mitad: el ± no es una elección libre, lo decide el cuadrante de α/2 y no el de α.
Usar grados donde la fórmula presupone radianes: comprueba la unidad seleccionada antes de leer los valores.
Olvidar que la tangente y la cotangente no existen en todas partes: tan α no está definida en 90°, cot α no lo está en 0°. Cuando ocurre, la tabla lo indica en lugar de mostrar un número enorme.

Preguntas frecuentes

¿Qué son las fórmulas de prostaféresis?

Son las cuatro identidades que convierten una suma o diferencia de senos y cosenos en un producto: por ejemplo sin α + sin β = 2·sin((α+β)/2)·cos((α−β)/2). Importan sobre todo en las ecuaciones, porque un producto se anula en cuanto se anula un factor.

¿Por qué las fórmulas del ángulo mitad llevan doble signo?

Porque el radical siempre devuelve un valor positivo, mientras que el seno y el coseno de α/2 pueden ser negativos. El cuadrante en que cae α/2 decide el signo: para α = 300°, por ejemplo, α/2 = 150° cae en el segundo cuadrante, donde el coseno es negativo.

¿Puedo trabajar en radianes?

Sí, cambia la unidad en el selector. La calculadora muestra de todos modos las dos lecturas del ángulo, así puedes confirmar que elegiste la unidad que querías.

Cómo funciona este cálculo

Ángulo mitad: sin(α/2) = ±√((1−cos α)/2), cos(α/2) = ±√((1+cos α)/2), tan(α/2) = sin α/(1+cos α). Ángulo doble: sin 2α = 2 sin α cos α, cos 2α = cos²α − sin²α, tan 2α = 2 tan α/(1−tan²α). Suma: sin(α±β) = sin α cos β ± cos α sin β, cos(α±β) = cos α cos β ∓ sin α sin β. Prostaféresis: sin α + sin β = 2 sin((α+β)/2) cos((α−β)/2); sin α − sin β = 2 cos((α+β)/2) sin((α−β)/2); cos α + cos β = 2 cos((α+β)/2) cos((α−β)/2); cos α − cos β = −2 sin((α+β)/2) sin((α−β)/2). Werner: sin α sin β = ½[cos(α−β) − cos(α+β)]; cos α cos β = ½[cos(α−β) + cos(α+β)]; sin α cos β = ½[sin(α+β) + sin(α−β)].

Teorema de Pitágoras

Hipotenusa o cateto que falta, con área, perímetro, ángulos y teoremas de Euclides.

Resolución de triángulos

Resuelve cualquier triángulo a partir de tres medidas, caso ambiguo incluido.

Perímetro y área

Perímetro, área y medidas derivadas de nueve figuras planas, del cuadrado a la elipse.