Formules trigonométriques : arc moitié et arc double

À quoi servent ces formules

Les formules trigonométriques servent à réécrire une expression sous une forme plus maniable, non à produire un nombre : pour cela un téléphone suffit. La valeur placée à côté de chaque identité est donc une vérification — elle indique que la réécriture est juste pour vos angles — tandis que la formule est ce que vous emporterez dans l'exercice.

Les formules de l'arc moitié expriment le sinus, le cosinus et la tangente de α/2 à partir du seul cosinus de α. Dans la forme classique figure un ± devant le radical, et le choix du signe dépend du quadrant où tombe α/2 : c'est l'erreur la plus fréquente dans les exercices. Ici la valeur est calculée directement sur α/2, le signe est donc déjà le bon et vous pouvez l'utiliser pour contrôler votre choix.

Les formules de prosthaphérèse transforment les sommes en produits et sont surtout utiles pour résoudre une équation : une somme de sinus ne s'annule pas facilement, un produit oui, car il suffit qu'un facteur s'annule. Les formules de Werner font le chemin inverse et servent lorsqu'un produit doit être intégré ou simplifié.

Erreurs fréquentes

Se tromper de signe dans les formules de l'arc moitié : le ± n'est pas un choix libre, c'est le quadrant de α/2 qui le décide — pas celui de α.
Utiliser des degrés là où la formule suppose des radians : vérifiez l'unité sélectionnée avant de lire les valeurs.
Oublier que tangente et cotangente n'existent pas partout : tan α n'est pas définie à 90°, cot α ne l'est pas à 0°. Le cas échéant, le tableau le signale au lieu d'afficher un nombre énorme.

Questions fréquentes

Que sont les formules de prosthaphérèse ?

Ce sont les quatre identités qui transforment une somme ou une différence de sinus et de cosinus en produit : par exemple sin α + sin β = 2·sin((α+β)/2)·cos((α−β)/2). Elles comptent surtout dans les équations, car un produit s'annule dès qu'un facteur s'annule.

Pourquoi les formules de l'arc moitié portent-elles un double signe ?

Parce que le radical renvoie toujours une valeur positive, alors que le sinus et le cosinus de α/2 peuvent être négatifs. Le quadrant où tombe α/2 décide du signe : pour α = 300°, par exemple, α/2 = 150° tombe dans le deuxième quadrant, où le cosinus est négatif.

Puis-je travailler en radians ?

Oui, changez l'unité dans le sélecteur. La calculatrice affiche de toute façon les deux lectures de l'angle, ce qui permet de confirmer l'unité choisie.

Comment fonctionne ce calcul

Arc moitié : sin(α/2) = ±√((1−cos α)/2), cos(α/2) = ±√((1+cos α)/2), tan(α/2) = sin α/(1+cos α). Arc double : sin 2α = 2 sin α cos α, cos 2α = cos²α − sin²α, tan 2α = 2 tan α/(1−tan²α). Addition : sin(α±β) = sin α cos β ± cos α sin β, cos(α±β) = cos α cos β ∓ sin α sin β. Prosthaphérèse : sin α + sin β = 2 sin((α+β)/2) cos((α−β)/2) ; sin α − sin β = 2 cos((α+β)/2) sin((α−β)/2) ; cos α + cos β = 2 cos((α+β)/2) cos((α−β)/2) ; cos α − cos β = −2 sin((α+β)/2) sin((α−β)/2). Werner : sin α sin β = ½[cos(α−β) − cos(α+β)] ; cos α cos β = ½[cos(α−β) + cos(α+β)] ; sin α cos β = ½[sin(α+β) + sin(α−β)].

Théorème de Pythagore

Hypoténuse ou côté manquant, avec aire, périmètre, angles et théorèmes d'Euclide.

Résolution de triangles

Résolvez un triangle quelconque à partir de trois mesures, cas ambigu compris.

Périmètre et aire

Périmètre, aire et mesures dérivées de neuf figures planes, du carré à l'ellipse.