Mathematik
Rechner für trigonometrische Formeln
Geben Sie einen Winkel ein — und bei Bedarf einen zweiten — und sehen Sie jede Identität mit der Formel neben dem Wert: Halbwinkel, Doppelwinkel, Addition, Prosthaphärese und Werner.
Wozu diese Formeln dienen
Trigonometrische Formeln dienen dazu, einen Ausdruck in eine handlichere Form zu bringen, nicht dazu, eine Zahl zu liefern: die gibt jedes Telefon. Der Wert neben jeder Identität ist deshalb eine Probe — er zeigt, dass die Umformung für Ihre Winkel stimmt — während die Formel das ist, was Sie in die Aufgabe mitnehmen.
Die Halbwinkelformeln drücken Sinus, Kosinus und Tangens von α/2 allein durch den Kosinus von α aus. In der klassischen Form steht ein ± vor der Wurzel, und die Wahl des Vorzeichens hängt vom Quadranten ab, in den α/2 fällt: das ist der häufigste Fehler in Übungen. Hier wird der Wert direkt über α/2 berechnet, das Vorzeichen stimmt also bereits und Sie können damit Ihre eigene Wahl prüfen.
Die Prosthaphärese verwandelt Summen in Produkte und ist besonders nützlich beim Lösen von Gleichungen: eine Summe von Sinuswerten wird nicht leicht null, ein Produkt schon, denn es genügt, dass ein Faktor verschwindet. Die Wernerschen Formeln gehen den umgekehrten Weg und werden gebraucht, wenn ein Produkt integriert oder vereinfacht werden soll.
Häufige Fehler
- Das Vorzeichen in den Halbwinkelformeln verfehlen: das ± ist keine freie Wahl, darüber entscheidet der Quadrant von α/2 — nicht der von α.
- Grad einsetzen, wo die Formel das Bogenmaß voraussetzt: prüfen Sie die gewählte Einheit, bevor Sie die Werte ablesen.
- Vergessen, dass Tangens und Kotangens nicht überall existieren: tan α ist bei 90° nicht definiert, cot α nicht bei 0°. Wo das eintritt, sagt die Tabelle es, statt eine riesige Zahl anzuzeigen.
Häufige Fragen
Was sind die Formeln der Prosthaphärese?
Es sind die vier Identitäten, die eine Summe oder Differenz von Sinus- und Kosinuswerten in ein Produkt verwandeln, etwa sin α + sin β = 2·sin((α+β)/2)·cos((α−β)/2). Wichtig sind sie vor allem in Gleichungen, denn ein Produkt wird null, sobald ein Faktor null wird.
Warum tragen die Halbwinkelformeln ein doppeltes Vorzeichen?
Weil die Wurzel stets einen positiven Wert liefert, Sinus und Kosinus von α/2 aber negativ sein können. Der Quadrant, in den α/2 fällt, entscheidet: für α = 300° etwa liegt α/2 = 150° im zweiten Quadranten, wo der Kosinus negativ ist.
Kann ich im Bogenmaß rechnen?
Ja, stellen Sie die Einheit im Auswahlfeld um. Der Rechner zeigt ohnehin beide Lesarten des Winkels, sodass Sie prüfen können, ob Sie die gemeinte Einheit gewählt haben.
Wie diese Berechnung funktioniert
Halbwinkel: sin(α/2) = ±√((1−cos α)/2), cos(α/2) = ±√((1+cos α)/2), tan(α/2) = sin α/(1+cos α). Doppelwinkel: sin 2α = 2 sin α cos α, cos 2α = cos²α − sin²α, tan 2α = 2 tan α/(1−tan²α). Addition: sin(α±β) = sin α cos β ± cos α sin β, cos(α±β) = cos α cos β ∓ sin α sin β. Prosthaphärese: sin α + sin β = 2 sin((α+β)/2) cos((α−β)/2); sin α − sin β = 2 cos((α+β)/2) sin((α−β)/2); cos α + cos β = 2 cos((α+β)/2) cos((α−β)/2); cos α − cos β = −2 sin((α+β)/2) sin((α−β)/2). Werner: sin α sin β = ½[cos(α−β) − cos(α+β)]; cos α cos β = ½[cos(α−β) + cos(α+β)]; sin α cos β = ½[sin(α+β) + sin(α−β)].