Fórmulas trigonométricas: arco metade, arco duplo, prostaférese

Para que servem estas fórmulas

As fórmulas trigonométricas existem para reescrever uma expressão em uma forma mais manejável, não para produzir um número: qualquer celular dá o número. O valor ao lado de cada identidade é, portanto, uma verificação — diz que a reescrita vale para os seus ângulos —, enquanto a fórmula é o que você leva para o exercício.

As fórmulas do arco metade expressam seno, cosseno e tangente de α/2 usando só o cosseno de α. A forma clássica traz um ± na frente do radical, e a escolha do sinal depende do quadrante em que α/2 cai: é o erro mais comum nos exercícios. Aqui o valor é calculado diretamente em α/2, então o sinal já está certo e você pode usá-lo para conferir a sua escolha.

As fórmulas de prostaférese transformam somas em produtos, e são mais úteis na resolução de equações: uma soma de senos não se anula com facilidade, um produto sim, porque basta um fator zerar. As fórmulas de Werner fazem o caminho inverso e são as que você precisa quando um produto deve ser integrado ou simplificado.

Erros frequentes

Errar o sinal nas fórmulas do arco metade: o ± não é uma escolha livre, quem decide é o quadrante de α/2 — não o de α.
Colocar graus em uma fórmula que supõe radianos: confira a unidade selecionada antes de ler os valores.
Esquecer que tangente e cotangente não existem em toda parte: tan α é indefinida em 90°, cot α em 0°. Onde isso acontece, a tabela avisa em vez de mostrar um número enorme.

Perguntas frequentes

O que são as fórmulas de prostaférese?

São as quatro identidades que transformam uma soma ou diferença de senos e cossenos em um produto: por exemplo, sen α + sen β = 2·sen((α+β)/2)·cos((α−β)/2). São mais importantes nas equações, porque um produto se anula assim que um fator se anula.

Por que as fórmulas do arco metade têm sinal duplo?

Porque o radical sempre devolve um valor positivo, enquanto seno e cosseno de α/2 podem ser negativos. O quadrante em que α/2 cai decide o sinal: para α = 300°, por exemplo, α/2 = 150° fica no segundo quadrante, onde o cosseno é negativo.

Posso trabalhar em radianos?

Sim, troque a unidade no seletor. A calculadora mostra as duas leituras do ângulo de qualquer forma, para você confirmar que escolheu a unidade certa.

Como funciona este cálculo

Arco metade: sen(α/2) = ±√((1−cos α)/2), cos(α/2) = ±√((1+cos α)/2), tan(α/2) = sen α/(1+cos α). Arco duplo: sen 2α = 2 sen α cos α, cos 2α = cos²α − sen²α, tan 2α = 2 tan α/(1−tan²α). Adição: sen(α±β) = sen α cos β ± cos α sen β, cos(α±β) = cos α cos β ∓ sen α sen β. Prostaférese: sen α + sen β = 2 sen((α+β)/2) cos((α−β)/2); sen α − sen β = 2 cos((α+β)/2) sen((α−β)/2); cos α + cos β = 2 cos((α+β)/2) cos((α−β)/2); cos α − cos β = −2 sen((α+β)/2) sen((α−β)/2). Werner: sen α sen β = ½[cos(α−β) − cos(α+β)]; cos α cos β = ½[cos(α−β) + cos(α+β)]; sen α cos β = ½[sen(α+β) + sen(α−β)].

Teorema de Pitágoras

A hipotenusa ou o cateto que falta, com área, perímetro, ângulos e as relações métricas.

Resolução de triângulos

Resolva qualquer triângulo a partir de três medidas, caso ambíguo incluído.

Perímetro e área

Perímetro, área e medidas derivadas de nove figuras planas, do quadrado à elipse.