Algebra liniowa
Kalkulator rachunku wektorowego
Podaj współrzędne dwóch wektorów na płaszczyźnie albo w przestrzeni: długość, wersor, iloczyn skalarny i wektorowy, kąt, rzut i pola aktualizują się od razu, a na płaszczyźnie zobaczysz oba wektory narysowane wraz z równoległobokiem ich sumy.
Dwa sposoby mnożenia wektorów
Dodawanie wektorów jest proste — dodaje się współrzędne — ale mnożyć je można na dwa różne sposoby, odpowiadające na różne pytania. Iloczyn skalarny u · v = uₓvₓ + u_yv_y + u_zv_z daje liczbę, a ta liczba wynosi |u||v|·cos θ: mierzy, jak bardzo oba wektory wskazują w tę samą stronę. Jest zerem, gdy są prostopadłe, i to on stoi za pracą siły na drodze oraz za rzutem jednego wektora na drugi.
Iloczyn wektorowy u × v daje natomiast kolejny wektor, prostopadły do obu, o długości |u||v|·sin θ. Ta długość to pole równoległoboku rozpiętego na obu wektorach — jego połowa to pole trójkąta — a kierunek wskazuje normalną do wyznaczonej przez nie płaszczyzny. Istnieje tylko w przestrzeni: na płaszczyźnie zostaje sama współrzędna z, czyli pole ze znakiem, dodatnie gdy v leży na lewo od u.
Kąt między wektorami można wyznaczyć z obu iloczynów, ale nie z taką samą dokładnością. Iloczyn skalarny daje cos θ, a cosinus jest płaski blisko 0° i 180°: tam błąd zaokrąglenia na dziewiątej cyfrze przesuwa kąt na piątej. Ten kalkulator używa zamiast tego arkusa tangensa z długości iloczynu wektorowego względem iloczynu skalarnego, który pozostaje dokładny na obu krańcach — dlatego dwa niemal równoległe wektory dostają tu wiarygodny kąt.
Częste błędy
- Mylenie obu iloczynów. Iloczyn skalarny daje liczbę, wektorowy — wektor: jeśli szukane jest pole albo normalna, potrzebny jest drugi, a jeśli praca albo rzut — pierwszy.
- Zakładanie, że u × v równa się v × u. Iloczyn wektorowy zmienia znak przy zamianie czynników: u × v = −(v × u). Iloczyn skalarny jest natomiast symetryczny i stąd bierze się błędny nawyk.
- Mylenie wersora z wektorem. Wersor ma ten sam kierunek, ale długość 1, i powstaje przez podzielenie każdej współrzędnej przez długość. Tylko wektor zerowy go nie ma, bo nie ma kierunku do zachowania.
Najczęstsze pytania
Jak obliczyć kąt między dwoma wektorami?
Z zależności u · v = |u||v|·cos θ wynika θ = arccos(u · v / (|u||v|)). Blisko 0° i 180° ten wzór traci dokładność, bo cosinus jest tam płaski: stabilniejsze jest θ = atan2(|u × v|, u · v) i taka postać jest tu używana.
Kiedy dwa wektory są prostopadłe?
Gdy ich iloczyn skalarny jest zerem. Kąt nie jest do tego potrzebny: jeśli uₓvₓ + u_yv_y + u_zv_z daje zero i żaden z wektorów nie jest zerowy, kąt wynosi 90°.
Po czym poznać, że dwa wektory są równoległe?
Po tym, że iloczyn wektorowy znika, czyli gdy jeden jest wielokrotnością drugiego. Na płaszczyźnie wystarczy sprawdzić, czy uₓv_y − u_yvₓ daje zero. Uwaga: wektory o przeciwnych zwrotach też są równoległe, a kąt wynosi wtedy 180°.
Do czego służy rzut jednego wektora na drugi?
Do rozłożenia wektora na dwie części: tę wzdłuż v i tę do niego prostopadłą. Pierwsza wynosi (u · v / |v|²)·v, druga to reszta. To krok, który pojawia się przy rozkładzie sił na równi pochyłej i przy ortogonalizacji bazy.
Jak obliczyć pole trójkąta z dwóch wektorów?
To połowa długości iloczynu wektorowego: pole = |u × v|/2. Na płaszczyźnie sprowadza się to do |uₓv_y − u_yvₓ|/2. Jeśli wierzchołkami są A, B i C, przyjmuje się u = B − A oraz v = C − A.
Jak działa to obliczenie
Długość: |u| = √(uₓ² + u_y² + u_z²). Wersor: û = u/|u|, określony tylko gdy |u| ≠ 0. Suma i różnica: współrzędna po współrzędnej. Iloczyn skalarny: u · v = uₓvₓ + u_yv_y + u_zv_z = |u||v|·cos θ. Iloczyn wektorowy: u × v = (u_yv_z − u_zv_y, u_zvₓ − uₓv_z, uₓv_y − u_yvₓ), przy |u × v| = |u||v|·sin θ; na płaszczyźnie zostaje tylko współrzędna z. Kąt: θ = atan2(|u × v|, u · v), wybrany zamiast arkusa cosinusa, bo pozostaje dokładny blisko 0° i 180°. Pole równoległoboku: |u × v|; trójkąta: połowa. Rzut u na v: składowa skalarna u · v/|v|, wektor (u · v/|v|²)·v; część prostopadła to u minus ten rzut. Odległość końców: |u − v|. Prostopadłe, gdy u · v = 0; równoległe, gdy |u × v| = 0. Oba sprawdzenia używają tolerancji proporcjonalnej do |u||v|, bo w arytmetyce zmiennoprzecinkowej iloczyn, który powinien się zerować, prawie nigdy nie daje dokładnie zera.
Powiązane kalkulatory
Prosta przez dwa punkty
Równanie prostej w postaci kierunkowej i ogólnej, współczynnik kierunkowy i punkty przecięcia.
Odległość i środek odcinka
Odległość między dwoma punktami w układzie współrzędnych i współrzędne środka odcinka.
Krzywe stożkowe
Rozpoznaje krzywą z równania ogólnego i wyznacza środek, ogniska, osie, mimośród, asymptoty i postać kanoniczną.
Macierze i wektory
Suma, iloczyn, wyznacznik, transpozycja, iloczyn skalarny i długość macierzy oraz wektorów.