Matematyka
Asymptoty funkcji: pionowe, poziome, ukośne
Wpisz funkcję i otrzymaj jej asymptoty, każdą z granicą, która ją uzasadnia, narysowane linią przerywaną na wykresie: proste, do których krzywa się zbliża, nigdy na nich nie spoczywając.
Trzy rodzaje asymptot, i granica za każdą z nich
Asymptota to prosta, do której wykres zbliża się dowolnie blisko, uciekając w nieskończoność. Są trzy rodzaje i każdy znajduje się za pomocą granicy: dlatego asymptoty pojawiają się tuż po granicach w każdym badaniu przebiegu funkcji.
Asymptota pionowa x = a pojawia się tam, gdzie funkcja eksploduje w skończonym punkcie: co najmniej jedna z granic jednostronnych w a wynosi +∞ lub −∞. Szuka się jej w punktach wyłączonych z dziedziny, zwykle w miejscach zerowych mianownika. Nie każdy wyłączony punkt ją daje: (x² − 4)/(x − 2) dąży do 4 przy x → 2 i tam wykres ma tylko dziurę.
Asymptota pozioma y = L pojawia się, gdy f(x) dąży do skończonej wartości L przy x → +∞ lub x → −∞. Jeśli granica jest nieskończona, może istnieć asymptota ukośna y = ax + b: współczynnik kierunkowy to a = lim f(x)/x, skończony i różny od zera, a wyraz wolny to b = lim (f(x) − ax). Dla funkcji wymiernej dzieje się tak dokładnie wtedy, gdy licznik ma stopień o jeden większy od mianownika.
Częste błędy
- Nazywanie asymptotą pionową każdego miejsca zerowego mianownika bez liczenia granicy: jeśli zeruje się tam też licznik, punkt może być usuwalną dziurą.
- Branie b = lim f(x) zamiast b = lim (f(x) − ax). Wyraz wolny liczy się po współczynniku kierunkowym i od niego zależy.
- Zakładanie, że asymptota przy x → +∞ jest też asymptotą przy x → −∞. eˣ ma y = 0 tylko z lewej, a √(x² + 1) ma y = x z prawej i y = −x z lewej.
- Przekonanie, że wykres nigdy nie przecina swojej asymptoty. Może, nawet nieskończenie wiele razy: sin x / x przecina y = 0 w każdej wielokrotności π.
Najczęstsze pytania
Jak znaleźć asymptoty pionowe?
Weź punkty wyłączone z dziedziny, zwykle miejsca zerowe mianownika, i oblicz w nich granice jednostronne. Jeśli choć jedna wynosi +∞ lub −∞, prosta x = a jest asymptotą pionową.
Jak znaleźć asymptotę ukośną?
Tylko tam, gdzie lim f(x) jest nieskończona przy x → ±∞. Oblicz a = lim f(x)/x: jeśli jest skończone i różne od zera, oblicz b = lim (f(x) − ax). Jeśli b też jest skończone, y = ax + b jest asymptotą ukośną.
Czy funkcja może mieć asymptotę poziomą i ukośną?
Nie z tej samej strony: przy x → +∞ ma jedną, drugą albo żadną. Z przeciwnych stron tak, jak funkcja, która z lewej się wypłaszcza, a z prawej biegnie wzdłuż nachylonej prostej.
Które funkcje wymierne mają asymptotę ukośną?
Te, w których licznik ma stopień dokładnie o jeden większy od mianownika. Dzielenie wielomianów daje iloraz ax + b, który jest asymptotą, i resztę dążącą do zera.
Jak działa to obliczenie
Asymptota pionowa x = a: lim x→a⁻ f(x) = ±∞ lub lim x→a⁺ f(x) = ±∞, szukana na skończonych krańcach dziedziny. Asymptota pozioma y = L: lim x→+∞ f(x) = L lub lim x→−∞ f(x) = L, przy skończonym L. Asymptota ukośna y = ax + b, przy x → +∞ lub x → −∞: a = lim f(x)/x, skończone i różne od zera, oraz b = lim (f(x) − ax), skończone. Z jednej strony funkcja ma co najwyżej jedną asymptotę poziomą lub ukośną. Każda granica liczona jest numerycznie i zapisywana dokładnie, gdy zostanie rozpoznana.
Powiązane kalkulatory
Badanie przebiegu funkcji
Dziedzina, znak, granice, asymptoty, ekstrema, wypukłość i wykres za jednym razem.
Dziedzina funkcji
Założenia i dziedzina zapisana jako suma przedziałów.
Granice
Granice jednostronne i w nieskończoności, z symbolem nieoznaczonym na starcie.
Pochodne
Pochodna funkcji i reguły użyte do jej wyznaczenia.