Calcul des asymptotes : verticales, horizontales et obliques

Trois sortes d'asymptotes, et la limite derrière chacune

Une asymptote est une droite dont la courbe s'approche autant qu'on veut en partant vers l'infini. Il y en a trois sortes, et chacune se trouve avec une limite : c'est pourquoi les asymptotes viennent juste après les limites dans toute étude de fonction.

Une asymptote verticale x = a apparaît là où la fonction explose en un point fini : au moins une des limites latérales en a vaut +∞ ou −∞. On la cherche aux points exclus du domaine, en général les zéros d'un dénominateur. Tous les points exclus n'en donnent pas : (x² − 4)/(x − 2) tend vers 4 quand x → 2, et la courbe n'y a qu'un trou.

Une asymptote horizontale y = L apparaît quand f(x) tend vers une valeur finie L en +∞ ou en −∞. Si la limite est infinie, il peut y avoir une asymptote oblique y = ax + b : le coefficient directeur est a = lim f(x)/x, qui doit être fini et non nul, et l'ordonnée à l'origine est b = lim (f(x) − ax). Pour une fonction rationnelle, cela arrive exactement quand le numérateur a un degré de plus que le dénominateur.

Erreurs fréquentes

Appeler asymptote verticale tout zéro du dénominateur sans calculer la limite : si le numérateur s'y annule aussi, le point peut être un simple trou.
Prendre b = lim f(x) au lieu de b = lim (f(x) − ax). L'ordonnée à l'origine se calcule après le coefficient directeur, et en dépend.
Supposer que l'asymptote en +∞ est aussi celle en −∞. eˣ a y = 0 seulement à gauche, et √(x² + 1) a y = x à droite et y = −x à gauche.
Croire qu'une courbe ne peut jamais couper son asymptote. Elle le peut, même une infinité de fois : sin x / x coupe y = 0 en chaque multiple de π.

Questions fréquentes

Comment trouver les asymptotes verticales ?

Prenez les points exclus du domaine, en général là où un dénominateur s'annule, et calculez-y les limites latérales. Si au moins une vaut +∞ ou −∞, la droite x = a est une asymptote verticale.

Comment trouver une asymptote oblique ?

Seulement là où lim f(x) est infinie en ±∞. Calculez a = lim f(x)/x : s'il est fini et non nul, calculez b = lim (f(x) − ax). Si b est fini lui aussi, y = ax + b est l'asymptote oblique.

Une fonction peut-elle avoir une asymptote horizontale et une oblique ?

Pas du même côté : en +∞ elle a l'une, l'autre ou aucune. De côtés opposés, oui, comme une fonction qui s'aplatit à gauche et suit une droite inclinée à droite.

Quelles fonctions rationnelles ont une asymptote oblique ?

Celles dont le numérateur a exactement un degré de plus que le dénominateur. La division euclidienne des polynômes donne le quotient ax + b, qui est l'asymptote, et un reste qui tend vers zéro.

Comment fonctionne ce calcul

Asymptote verticale x = a : lim x→a⁻ f(x) = ±∞ ou lim x→a⁺ f(x) = ±∞, cherchée aux bornes finies du domaine. Asymptote horizontale y = L : lim x→+∞ f(x) = L ou lim x→−∞ f(x) = L, avec L fini. Asymptote oblique y = ax + b, en +∞ ou en −∞ : a = lim f(x)/x, fini et non nul, et b = lim (f(x) − ax), fini. D'un même côté, une fonction a au plus une asymptote horizontale ou oblique. Chaque limite est calculée numériquement et écrite sous forme exacte quand elle est reconnue.

Étude de fonction

Domaine, signe, limites, asymptotes, extremums, convexité et courbe, en une seule fois.

Domaine de définition

Les conditions d'existence et le domaine écrit comme réunion d'intervalles.

Limites

Limites à gauche, à droite et à l'infini, avec la forme indéterminée de départ.

Dérivées

La dérivée d'une fonction et les règles utilisées pour l'obtenir.