Mathematik
Asymptoten einer Funktion: senkrecht, waagerecht, schief
Gib die Funktion ein und erhalte ihre Asymptoten, jede mit dem Grenzwert, der sie belegt, gestrichelt im Graphen: die Geraden, denen sich die Kurve nähert, ohne je auf ihnen zu liegen.
Drei Arten von Asymptoten, und der Grenzwert hinter jeder
Eine Asymptote ist eine Gerade, der sich der Graph beliebig nahe kommt, während er ins Unendliche läuft. Es gibt drei Arten, und jede wird mit einem Grenzwert gefunden: Deshalb folgen die Asymptoten in jeder Kurvendiskussion direkt auf die Grenzwerte.
Eine senkrechte Asymptote x = a entsteht dort, wo die Funktion an einer endlichen Stelle explodiert: Mindestens einer der einseitigen Grenzwerte bei a ist +∞ oder −∞. Gesucht wird sie an den Stellen, die aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen sind, typischerweise den Nullstellen eines Nenners. Nicht jede ausgeschlossene Stelle ergibt eine: (x² − 4)/(x − 2) geht für x → 2 gegen 4, dort hat der Graph nur eine Lücke.
Eine waagerechte Asymptote y = L entsteht, wenn f(x) für x → +∞ oder x → −∞ gegen einen endlichen Wert L geht. Ist der Grenzwert stattdessen unendlich, kann es eine schiefe Asymptote y = mx + b geben: Die Steigung ist m = lim f(x)/x, die endlich und ungleich null sein muss, der Achsenabschnitt b = lim (f(x) − mx). Bei einer gebrochenrationalen Funktion passiert das genau dann, wenn der Zählergrad um eins größer ist als der Nennergrad.
Häufige Fehler
- Jede Nullstelle des Nenners ohne Grenzwertrechnung als senkrechte Asymptote bezeichnen: Wird dort auch der Zähler null, kann die Stelle eine hebbare Lücke sein.
- b = lim f(x) statt b = lim (f(x) − mx) nehmen. Der Achsenabschnitt wird nach der Steigung berechnet und hängt von ihr ab.
- Annehmen, dass die Asymptote für x → +∞ auch die für x → −∞ ist. eˣ hat y = 0 nur links, und √(x² + 1) hat rechts y = x und links y = −x.
- Glauben, ein Graph könne seine Asymptote nie schneiden. Er kann es, sogar unendlich oft: sin x / x schneidet y = 0 bei jedem Vielfachen von π.
Häufige Fragen
Wie finde ich senkrechte Asymptoten?
Nimm die aus dem Definitionsbereich ausgeschlossenen Stellen, meist die Nullstellen eines Nenners, und berechne dort die einseitigen Grenzwerte. Ist mindestens einer +∞ oder −∞, ist die Gerade x = a eine senkrechte Asymptote.
Wie finde ich eine schiefe Asymptote?
Nur dort, wo lim f(x) für x → ±∞ unendlich ist. Berechne m = lim f(x)/x: Ist es endlich und ungleich null, berechne b = lim (f(x) − mx). Ist auch b endlich, ist y = mx + b die schiefe Asymptote.
Kann eine Funktion eine waagerechte und eine schiefe Asymptote haben?
Nicht auf derselben Seite: Für x → +∞ hat sie die eine, die andere oder keine. Auf entgegengesetzten Seiten schon, etwa eine Funktion, die links abflacht und rechts einer schrägen Geraden folgt.
Welche gebrochenrationalen Funktionen haben eine schiefe Asymptote?
Die, deren Zählergrad genau um eins größer ist als der Nennergrad. Die Polynomdivision liefert den Quotienten mx + b, der die Asymptote ist, und einen Rest, der gegen null geht.
So funktioniert die Berechnung
Senkrechte Asymptote x = a: lim x→a⁻ f(x) = ±∞ oder lim x→a⁺ f(x) = ±∞, gesucht an den endlichen Rändern des Definitionsbereichs. Waagerechte Asymptote y = L: lim x→+∞ f(x) = L oder lim x→−∞ f(x) = L, mit endlichem L. Schiefe Asymptote y = mx + b, für x → +∞ oder x → −∞: m = lim f(x)/x, endlich und ungleich null, und b = lim (f(x) − mx), endlich. Auf einer Seite hat eine Funktion höchstens eine waagerechte oder schiefe Asymptote. Jeder Grenzwert wird numerisch bestimmt und exakt geschrieben, wenn er erkannt wird.
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