Matemática
Assíntotas de uma função: verticais, horizontais, oblíquas
Escreva a função e obtenha suas assíntotas, cada uma com o limite que a comprova, traçadas tracejadas no gráfico: as retas das quais a curva se aproxima sem nunca pousar sobre elas.
Três tipos de assíntota, e o limite por trás de cada uma
Uma assíntota é uma reta da qual o gráfico se aproxima tanto quanto se queira enquanto corre para o infinito. Há três tipos, e cada um se encontra com um limite: por isso as assíntotas vêm logo depois dos limites em todo estudo de funções.
Uma assíntota vertical x = a aparece onde a função explode num ponto finito: pelo menos um dos limites laterais em a vale +∞ ou −∞. Ela é procurada nos pontos excluídos do domínio, normalmente as raízes de um denominador. Nem todo ponto excluído dá uma: (x² − 4)/(x − 2) tende a 4 quando x → 2, e ali o gráfico tem só um buraco.
Uma assíntota horizontal y = L aparece quando f(x) tende a um valor finito L quando x → +∞ ou x → −∞. Se o limite é infinito, pode haver uma assíntota oblíqua y = mx + n: o coeficiente angular é m = lim f(x)/x, que deve ser finito e diferente de zero, e o coeficiente linear é n = lim (f(x) − mx). Numa função racional isso acontece exatamente quando o numerador tem um grau a mais que o denominador.
Erros frequentes
- Chamar de assíntota vertical qualquer raiz do denominador sem calcular o limite: se ali também se anula o numerador, o ponto pode ser um buraco removível.
- Tomar n = lim f(x) em vez de n = lim (f(x) − mx). O coeficiente linear é calculado depois do angular, e depende dele.
- Supor que a assíntota quando x → +∞ é também a de x → −∞. eˣ tem y = 0 só à esquerda, e √(x² + 1) tem y = x à direita e y = −x à esquerda.
- Acreditar que um gráfico nunca pode cruzar sua assíntota. Pode, até infinitas vezes: sen x / x cruza y = 0 em cada múltiplo de π.
Perguntas frequentes
Como encontro as assíntotas verticais?
Pegue os pontos excluídos do domínio, geralmente onde um denominador se anula, e calcule ali os limites laterais. Se pelo menos um vale +∞ ou −∞, a reta x = a é uma assíntota vertical.
Como encontro uma assíntota oblíqua?
Só onde lim f(x) é infinito quando x → ±∞. Calcule m = lim f(x)/x: se for finito e diferente de zero, calcule n = lim (f(x) − mx). Se n também for finito, y = mx + n é a assíntota oblíqua.
Uma função pode ter assíntota horizontal e oblíqua?
Não do mesmo lado: quando x → +∞ tem uma, a outra ou nenhuma. De lados opostos sim, como uma função que à esquerda se achata e à direita acompanha uma reta inclinada.
Quais funções racionais têm assíntota oblíqua?
Aquelas cujo numerador tem exatamente um grau a mais que o denominador. A divisão dos polinômios dá o quociente mx + n, que é a assíntota, e um resto que tende a zero.
Como funciona este cálculo
Assíntota vertical x = a: lim x→a⁻ f(x) = ±∞ ou lim x→a⁺ f(x) = ±∞, procurada nos extremos finitos do domínio. Assíntota horizontal y = L: lim x→+∞ f(x) = L ou lim x→−∞ f(x) = L, com L finito. Assíntota oblíqua y = mx + n, quando x → +∞ ou x → −∞: m = lim f(x)/x, finito e diferente de zero, e n = lim (f(x) − mx), finito. De um mesmo lado uma função tem no máximo uma assíntota horizontal ou oblíqua. Cada limite é calculado numericamente e escrito na forma exata quando é reconhecido.
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