Dziedzina funkcji online, z założeniami

Gdzie funkcję da się obliczyć, a gdzie nie

Dziedzina funkcji to zbiór liczb rzeczywistych, dla których wyrażenie daje liczbę rzeczywistą. Nie zgaduje się jej, tylko wypisuje listę założeń: każda część wyrażenia, która może zawieść, narzuca jedno, a dziedzina to miejsce, gdzie wszystkie zachodzą jednocześnie. To układ, a nie pojedyncza nierówność.

Zawieść mogą cztery rzeczy. Mianownik nie może być zerem. Wyrażenie pod pierwiastkiem kwadratowym, czy dowolnym pierwiastkiem stopnia parzystego, nie może być ujemne. Argument logarytmu musi być ściśle dodatni: ln 0 nie istnieje, podobnie jak logarytm liczby ujemnej. Argument arcus sinus i arcus cosinus musi leżeć między −1 a 1. Pierwiastki stopnia nieparzystego, funkcje wykładnicze, sinus, cosinus i wielomiany nie narzucają żadnego założenia.

Nawiasy niosą różnicę między ≥ a >. Wyrażenie pod √(x − 2) może się zerować, więc 2 należy do dziedziny i nawias jest kwadratowy: [2; +∞). Argument ln(x − 2) już nie, więc 2 jest wyłączone i nawias jest okrągły: (2; +∞). Nieskończoność zawsze dostaje nawias okrągły, bo nie jest liczbą, w której można obliczyć funkcję.

Częste błędy

Pisanie ≥ 0 dla pierwiastka w mianowniku: w 1/√x wyrażenie pod pierwiastkiem nie może też być zerem, więc założenie to x > 0.
Skracanie przed wyznaczeniem dziedziny. (x² − 4)/(x − 2) skraca się do x + 2, ale funkcja wyjściowa nie jest określona w x = 2 i ten punkt pozostaje poza dziedziną.
Nakładanie założenia na pierwiastek stopnia nieparzystego. ∛x jest określony dla każdego rzeczywistego x, także ujemnego: ∛(−8) = −2.
Rozwiązywanie założeń osobno i branie sumy zamiast części wspólnej: x musi spełniać wszystkie jednocześnie.

Najczęstsze pytania

Jak wyznaczyć dziedzinę funkcji?

Wypisuje się założenie dla każdej części wyrażenia, która może zawieść — mianowniki ≠ 0, wyrażenia pod pierwiastkami stopnia parzystego ≥ 0, argumenty logarytmów > 0, argumenty arcus sinus i arcus cosinus między −1 a 1 — i rozwiązuje je jako układ. Dziedzina to zbiór x, które spełniają wszystkie.

Jaka jest dziedzina wielomianu?

Całe ℝ: wielomian składa się tylko z sum i iloczynów, które zawsze da się obliczyć. To samo dotyczy funkcji wykładniczych, sinusa, cosinusa i pierwiastków stopnia nieparzystego.

Kiedy nawias jest okrągły, a kiedy kwadratowy?

Kwadratowy, gdy koniec należy do dziedziny, okrągły, gdy nie. Miejsce zerowe wyrażenia pod pierwiastkiem jest włączone, miejsce zerowe mianownika lub argumentu logarytmu nie, a ±∞ zawsze dostaje nawias okrągły.

Dlaczego dziedzina tg x to nie całe ℝ?

Bo tg x = sin x / cos x, a cos x zeruje się w π/2 i w każdej jego nieparzystej wielokrotności. Dziedzina to wszystkie liczby rzeczywiste poza x = π/2 + kπ, gdzie k jest całkowite.

Jak działa to obliczenie

Założenia: dla a/b, b ≠ 0; dla pierwiastka stopnia parzystego ⁿ√a, a ≥ 0 (a > 0, jeśli pierwiastek jest w mianowniku); dla ln a i logarytmów o dowolnej podstawie, a > 0; dla arcsin a i arccos a, −1 ≤ a ≤ 1; dla tg a, cos a ≠ 0; dla potęgi o zmiennym wykładniku dodatnia podstawa. Założenia rozwiązywane są numerycznie na gęstej siatce, a każdy koniec włącza się lub wyłącza według jego założenia: wyrażenie pod pierwiastkiem może osiągnąć zero, a argument arcus sinus ±1, mianownik i argument logarytmu nie. Każdy koniec zapisywany jest potem dokładnie, gdy jest ułamkiem, pierwiastkiem, wielokrotnością π lub rozwiązaniem równania kwadratowego.

Badanie przebiegu funkcji

Dziedzina, znak, granice, asymptoty, ekstrema, wypukłość i wykres za jednym razem.

Granice

Granice jednostronne i w nieskończoności, z symbolem nieoznaczonym na starcie.

Asymptoty

Asymptoty pionowe, poziome i ukośne, z granicami, które je uzasadniają.

Pochodne

Pochodna funkcji i reguły użyte do jej wyznaczenia.