Matemáticas
Asíntotas de una función: verticales, horizontales, oblicuas
Escribe la función y obtén sus asíntotas, cada una con el límite que la demuestra, trazadas a trazos en la gráfica: las rectas a las que la curva se acerca sin llegar nunca a quedarse sobre ellas.
Tres tipos de asíntota, y el límite detrás de cada una
Una asíntota es una recta a la que la gráfica se acerca tanto como se quiera mientras se aleja hacia el infinito. Hay tres tipos, y cada uno se encuentra con un límite: por eso las asíntotas vienen justo después de los límites en todo estudio de funciones.
Una asíntota vertical x = a aparece donde la función se dispara en un punto finito: al menos uno de los límites laterales en a vale +∞ o −∞. Se busca en los puntos excluidos del dominio, normalmente los ceros de un denominador. No todos los puntos excluidos dan una: (x² − 4)/(x − 2) tiende a 4 cuando x → 2, y ahí la gráfica solo tiene un hueco.
Una asíntota horizontal y = L aparece cuando f(x) tiende a un valor finito L cuando x → +∞ o cuando x → −∞. Si en cambio el límite es infinito, puede haber una asíntota oblicua y = mx + n: la pendiente es m = lim f(x)/x, que debe ser finita y distinta de cero, y la ordenada es n = lim (f(x) − mx). En una función racional ocurre exactamente cuando el numerador tiene un grado más que el denominador.
Errores frecuentes
- Llamar asíntota vertical a cualquier cero del denominador sin calcular el límite: si ahí también se anula el numerador, el punto puede ser un hueco evitable.
- Tomar n = lim f(x) en lugar de n = lim (f(x) − mx). La ordenada se calcula después de la pendiente, y depende de ella.
- Dar por hecho que la asíntota cuando x → +∞ es también la de x → −∞. eˣ tiene y = 0 solo a la izquierda, y √(x² + 1) tiene y = x a la derecha e y = −x a la izquierda.
- Creer que una gráfica nunca puede cortar su asíntota. Puede, incluso infinitas veces: sen x / x corta y = 0 en cada múltiplo de π.
Preguntas frecuentes
¿Cómo encuentro las asíntotas verticales?
Toma los puntos excluidos del dominio, normalmente donde se anula un denominador, y calcula ahí los límites laterales. Si al menos uno vale +∞ o −∞, la recta x = a es una asíntota vertical.
¿Cómo encuentro una asíntota oblicua?
Solo donde lim f(x) es infinito cuando x → ±∞. Calcula m = lim f(x)/x: si es finito y distinto de cero, calcula n = lim (f(x) − mx). Si n también es finito, y = mx + n es la asíntota oblicua.
¿Puede una función tener una asíntota horizontal y una oblicua?
No por el mismo lado: cuando x → +∞ tiene una, la otra o ninguna. Por lados opuestos sí, como una función que a la izquierda se aplana y a la derecha sigue una recta inclinada.
¿Qué funciones racionales tienen asíntota oblicua?
Aquellas cuyo numerador tiene exactamente un grado más que el denominador. La división de polinomios da el cociente mx + n, que es la asíntota, y un resto que tiende a cero.
Cómo funciona este cálculo
Asíntota vertical x = a: lim x→a⁻ f(x) = ±∞ o lim x→a⁺ f(x) = ±∞, buscada en los extremos finitos del dominio. Asíntota horizontal y = L: lim x→+∞ f(x) = L o lim x→−∞ f(x) = L, con L finito. Asíntota oblicua y = mx + n, cuando x → +∞ o cuando x → −∞: m = lim f(x)/x, finito y distinto de cero, y n = lim (f(x) − mx), finito. Por un mismo lado una función tiene como mucho una asíntota horizontal u oblicua. Cada límite se calcula numéricamente y se escribe en forma exacta cuando se reconoce.
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