Kalkulator granic: jednostronne i symbole nieoznaczone

Co mówi granica, i do czego służą symbole nieoznaczone

Granica f(x) przy x dążącym do a to wartość, do której zbliża się f(x), gdy x zbliża się do a, niezależnie od tego, co dzieje się w samym a. Funkcja nie musi tam nawet być określona: sin x / x nie da się obliczyć w 0, a jednak jej wartości zbliżają się do 1 z obu stron. Na tym polega sens granicy: opisuje zbliżanie się, a nie dotarcie.

Zbliżanie się z lewej i z prawej to dwa osobne pytania. Gdy dają tę samą wartość, jest ona granicą; gdy się różnią, granica nie istnieje. 1/x w pobliżu 0 dąży do −∞ z lewej i do +∞ z prawej, co jest dokładnie znakiem rozpoznawczym asymptoty pionowej. W ±∞ jest tylko jedna strona, z której można nadejść.

Symbol nieoznaczony nie jest odpowiedzią, lecz ostrzeżeniem, że podstawienie nic nie mówi. 0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 0 · ∞, 1^∞, 0⁰ i ∞⁰ mogą dać dowolną wartość, a praca polega na przekształcaniu wyrażenia, aż symbol zniknie: rozkład na czynniki, usuwanie niewymierności, granica specjalna albo reguła de l'Hospitala. Pokazany tu symbol mówi, jakiego rodzaju przekształcenie jest potrzebne.

Częste błędy

Odczytywanie 0/0 jako 0 lub 1. To symbol, nie liczba: (x² − 1)/(x − 1) dąży do 2 przy x → 1, sin x / x do 1, a x²/x do 0.
Traktowanie 1^∞ jak 1. (1 + 1/x)^x dąży do e, nie do 1, bo podstawa zbliża się do 1 dokładnie tak szybko, jak rośnie wykładnik.
Podawanie granicy tam, gdzie granice jednostronne się różnią: granica 1/x przy x → 0 nie istnieje, bo obie strony dążą do −∞ i +∞.
Wnioskowanie, że granica nie istnieje, bo funkcja nie jest określona w punkcie: granica patrzy tylko na wartości w pobliżu.

Najczęstsze pytania

Kiedy granica nie istnieje?

Gdy granice lewostronna i prawostronna są różne, jak dla 1/x w 0, albo gdy funkcja oscyluje bez końca, nie ustalając się, jak sin(1/x) w pobliżu 0 czy sin x w nieskończoności.

Jakie są symbole nieoznaczone?

0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 0 · ∞, 1^∞, 0⁰ i ∞⁰. Po podstawieniu punktu otrzymuje się jeden z nich i nie mówi on nic o granicy: wyrażenie trzeba przekształcać, aż symbol zniknie.

Ile wynosi granica sin x / x przy x dążącym do 0?

1. To pierwsza z granic specjalnych i symbol 0/0: sinus małego kąta jest prawie równy samemu kątowi, więc iloraz zbliża się do 1 z obu stron.

Jak kalkulator oblicza granicę?

Oblicza wartość funkcji w punktach coraz bliższych szukanemu i odczytuje granicę tam, gdzie wartości przestają się zmieniać, zanim wkroczy błąd zaokrągleń. Wartość, która się ustala, zapisywana jest dokładnie, gdy zostanie rozpoznana — 1/2, e, √2 — a taka, która wciąż rośnie, podawana jest jako ±∞.

Jak działa to obliczenie

lim x→a f(x) = L, gdy f(x) jest dowolnie blisko L, o ile x jest dostatecznie blisko a, z wyłączeniem a. Granica lewostronna: x → a⁻, przy x < a; prawostronna: x → a⁺, przy x > a. Granica istnieje, gdy istnieją obie granice jednostronne i są równe. Granice specjalne: lim x→0 sin x / x = 1, lim x→0 (1 − cos x)/x² = 1/2, lim x→0 (eˣ − 1)/x = 1, lim x→0 ln(1 + x)/x = 1, lim x→±∞ (1 + 1/x)^x = e. Numerycznie f obliczana jest w a ± h dla h = 10^(−k/2), k = 2, 3, …, 20, albo w x = ±10^(k/2) w stronę nieskończoności; granicę odczytuje się tam, gdzie różnice między kolejnymi wartościami przestają maleć.

Badanie przebiegu funkcji

Dziedzina, znak, granice, asymptoty, ekstrema, wypukłość i wykres za jednym razem.

Dziedzina funkcji

Założenia i dziedzina zapisana jako suma przedziałów.

Asymptoty

Asymptoty pionowe, poziome i ukośne, z granicami, które je uzasadniają.

Pochodne

Pochodna funkcji i reguły użyte do jej wyznaczenia.