Matemática
Calculadora de integrais: primitiva e integral definida
Escreva a função e obtenha a sua primitiva, ou escolha dois limites para uma integral definida. Abaixo do resultado aparece o método usado, e onde não existe primitiva elementar ela diz isso em vez de inventar uma.
Integrar é reconhecer uma derivada ao contrário
Derivar é mecânico: há uma regra para cada estrutura e você a aplica. Integrar não é, e é por isso que se ensina em segundo lugar. Não existe um procedimento que receba qualquer função e devolva a sua primitiva: existe um repertório de formas reconhecíveis e um conjunto de técnicas para reduzir todo o resto a elas. O trabalho é de reconhecimento, não de execução.
As duas técnicas que cobrem quase todo exercício são a substituição e a integração por partes, e são as duas regras de derivação lidas ao contrário. A substituição é a regra da cadeia: uma função composta multiplicada pela derivada do que está dentro dela é exatamente o que a regra da cadeia teria produzido. A integração por partes é a regra do produto rearranjada, e é a que se usa quando as duas funções não têm nada a ver uma com a outra.
Há ainda o fato que surpreende todo mundo que chega das derivadas: algumas funções perfeitamente comuns não têm primitiva elementar. Não é uma falha do método nem desta página — é um teorema. Para e^(−x²), a gaussiana, está provado que nenhuma combinação finita de polinômios, exponenciais, logaritmos e funções trigonométricas a integra. A integral definida existe e é um número perfeitamente respeitável; só se obtém de outro jeito.
Erros frequentes
- Esquecer a constante de integração em uma integral indefinida. Há infinitas primitivas e o + C não é formalidade.
- Aplicar a regra da potência com expoente −1. ∫x⁻¹ dx não é x⁰/0: é ln|x|, e o valor absoluto importa.
- Mudar a variável em uma substituição e esquecer o diferencial. Se u = g(x), dx também precisa virar du/g′(x).
- Trocar os limites de uma integral definida sem trocar o sinal. Inverter a e b nega o resultado.
- Confundir integral definida com área. Elas só coincidem onde a função é positiva.
Perguntas frequentes
Por que a resposta sempre traz um + C?
Porque duas funções que diferem por uma constante têm a mesma derivada: uma função tem infinitas primitivas, que diferem só por essa constante. Em uma integral definida o + C desaparece, pois aparece duas vezes com sinais opostos e se cancela.
Quando se substitui e quando se integra por partes?
A substituição serve quando se vê no integrando uma função multiplicada pela sua própria derivada: é a regra da cadeia lida ao contrário. Por partes serve para um produto de duas funções de tipos diferentes — tipicamente um polinômio vezes uma exponencial, um seno ou um logaritmo.
Por que às vezes ela não encontra a primitiva?
Por dois motivos diferentes. Às vezes a primitiva existe, mas exige uma técnica fora do repertório desta página. Às vezes não existe nenhuma: está provado que para e^(−x²), para sen(x)/x e para outras, nenhuma combinação finita de funções elementares é primitiva. A integral definida continua sendo calculada, numericamente.
Qual a diferença entre o resultado exato e o numérico?
O exato vem da primitiva avaliada nos limites e está certo até o último algarismo. O numérico aproxima a área pela regra de Simpson: preciso o bastante para o uso comum, mas uma aproximação. A página sempre diz qual dos dois ela deu.
Uma integral definida pode dar negativa?
Sim, e não é erro: onde a função fica abaixo do eixo x a sua contribuição é negativa. Se você quer a área geométrica e não a integral, divida o intervalo onde a função muda de sinal e some os valores absolutos.
Como funciona este cálculo
Linearidade: ∫(a·f + b·g) dx = a∫f dx + b∫g dx. Potência: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) para n ≠ −1, e ∫x⁻¹ dx = ln|x|. Imediatas: ∫sen x dx = −cos x, ∫cos x dx = sen x, ∫e^x dx = e^x, ∫tan x dx = −ln|cos x|, ∫dx/(1+x²) = arctan x, ∫dx/(A x² + C) = arctan(x√(A/C))/√(AC), ∫ln x dx = x·ln x − x. Substituição linear: ∫f(ax+b) dx = F(ax+b)/a. Substituição: ∫f(g(x))·g′(x) dx = F(g(x)), a regra da cadeia ao contrário. Por partes: ∫u dv = u·v − ∫v du, com u o fator que se simplifica ao derivar — o polinômio, ou o logaritmo. Integral definida: ∫ₐᵇ f dx = F(b) − F(a). Onde não se encontra primitiva elementar, o valor definido é calculado pela regra de Simpson em 2000 intervalos, e a página avisa.
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