Mathematik
Integralrechner: Stammfunktion und bestimmtes Integral
Schreib die Funktion und erhalte die Stammfunktion, oder wähle zwei Grenzen für das bestimmte Integral. Unter dem Ergebnis steht die verwendete Methode, und wo es keine elementare Stammfunktion gibt, sagt die Seite das, statt eine zu erfinden.
Integrieren heißt, eine Ableitung rückwärts zu erkennen
Ableiten ist mechanisch: für jede Struktur gibt es eine Regel, und man wendet sie an. Integrieren nicht, und darum kommt es später dran. Es gibt kein Verfahren, das zu einer beliebigen Funktion die Stammfunktion liefert: es gibt ein Repertoire erkennbarer Formen und Techniken, alles andere darauf zurückzuführen. Die Arbeit ist Erkennen, nicht Ausführen.
Die beiden Techniken, die fast jede Übung abdecken, sind Substitution und partielle Integration — die beiden Ableitungsregeln rückwärts gelesen. Substitution ist die Kettenregel: eine verkettete Funktion mal der Ableitung ihres Inneren ist genau das, was die Kettenregel erzeugt hätte. Partielle Integration ist die umgestellte Produktregel und greift, wenn die beiden Funktionen nichts miteinander zu tun haben.
Und dann ist da die Tatsache, die jeden überrascht, der von den Ableitungen kommt: manche völlig gewöhnlichen Funktionen haben keine elementare Stammfunktion. Das ist keine Lücke der Methode und keine dieser Seite, sondern ein Satz. Für e^(−x²), die Gaußsche Glocke, ist bewiesen, dass keine endliche Kombination aus Polynomen, Exponential-, Logarithmus- und Winkelfunktionen sie integriert. Das bestimmte Integral existiert und ist eine völlig ehrbare Zahl — es wird nur anders berechnet.
Häufige Fehler
- Die Integrationskonstante beim unbestimmten Integral weglassen. Es gibt unendlich viele Stammfunktionen, und das + C ist keine Formalie.
- Die Potenzregel mit Exponent −1 anwenden. ∫x⁻¹ dx ist nicht x⁰/0, sondern ln|x| — und der Betrag gehört dazu.
- Bei der Substitution die Variable ersetzen und das Differential vergessen. Mit u = g(x) muss auch dx zu du/g′(x) werden.
- Die Grenzen eines bestimmten Integrals vertauschen, ohne das Vorzeichen zu wechseln. a und b zu tauschen kehrt das Ergebnis um.
- Bestimmtes Integral und Fläche verwechseln. Sie stimmen nur überein, wo die Funktion positiv ist.
Häufige Fragen
Warum steht am Ergebnis immer + C?
Weil zwei Funktionen, die sich um eine Konstante unterscheiden, dieselbe Ableitung haben: eine Funktion hat unendlich viele Stammfunktionen, und sie unterscheiden sich nur um diese Konstante. Beim bestimmten Integral fällt das + C weg, weil es zweimal mit entgegengesetztem Vorzeichen auftritt.
Wann substituiert man, wann integriert man partiell?
Substitution passt, wenn im Integranden eine Funktion mal der Ableitung ihres eigenen Inneren steht: das ist die Kettenregel rückwärts. Partielle Integration passt bei einem Produkt zweier wesensverschiedener Funktionen, typisch ein Polynom mal Exponentialfunktion, Sinus oder Logarithmus.
Warum findet er manchmal keine Stammfunktion?
Aus zwei verschiedenen Gründen. Manchmal gibt es eine, aber sie braucht eine Technik außerhalb des Repertoires dieser Seite. Manchmal gibt es gar keine: für e^(−x²), für sin(x)/x und andere ist bewiesen, dass keine endliche Kombination elementarer Funktionen eine Stammfunktion ist. Das bestimmte Integral wird trotzdem berechnet, numerisch.
Was unterscheidet das exakte vom numerischen Ergebnis?
Das exakte stammt aus der an den Grenzen ausgewerteten Stammfunktion und stimmt bis zur letzten Stelle. Das numerische nähert die Fläche mit der Simpsonregel an: für den normalen Gebrauch genau genug, aber eine Näherung. Die Seite sagt immer, welches von beiden sie geliefert hat.
Kann ein bestimmtes Integral negativ werden?
Ja, und das ist kein Fehler: wo die Funktion unter der x-Achse liegt, ist ihr Beitrag negativ. Wer die geometrische Fläche will und nicht das Integral, teilt das Intervall an den Vorzeichenwechseln und addiert die Beträge.
Wie diese Berechnung funktioniert
Linearität: ∫(a·f + b·g) dx = a∫f dx + b∫g dx. Potenz: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) für n ≠ −1, und ∫x⁻¹ dx = ln|x|. Grundintegrale: ∫sin x dx = −cos x, ∫cos x dx = sin x, ∫e^x dx = e^x, ∫tan x dx = −ln|cos x|, ∫dx/(1+x²) = arctan x, ∫dx/(A x² + C) = arctan(x√(A/C))/√(AC), ∫ln x dx = x·ln x − x. Lineare Substitution: ∫f(ax+b) dx = F(ax+b)/a. Substitution: ∫f(g(x))·g′(x) dx = F(g(x)), die Kettenregel rückwärts. Partiell: ∫u dv = u·v − ∫v du, mit u dem Faktor, der beim Ableiten einfacher wird — dem Polynom oder dem Logarithmus. Bestimmtes Integral: ∫ₐᵇ f dx = F(b) − F(a). Wird keine elementare Stammfunktion gefunden, berechnet die Seite den Wert mit der Simpsonregel über 2000 Intervalle und sagt es dazu.
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