Matemáticas
Calculadora de integrales: primitiva e integral definida
Escribe la función y obtén la primitiva, o elige dos extremos para la integral definida. Bajo el resultado aparece el método usado, y si no existe primitiva elemental te lo dice en vez de inventársela.
Integrar es reconocer una derivada al revés
Derivar es mecánico: hay una regla para cada estructura y se aplica. Integrar no, y por eso se aprende después. No existe un procedimiento que, dada una función cualquiera, devuelva su primitiva: existe un repertorio de formas reconocibles y un conjunto de técnicas para reducir a ellas lo que no lo es. El trabajo es de reconocimiento, no de ejecución.
Las dos técnicas que cubren casi todos los ejercicios son la sustitución y la integración por partes, y son las dos reglas de derivación leídas al revés. La sustitución es la regla de la cadena: si en el integrando hay una función compuesta multiplicada por la derivada de lo que lleva dentro, ese producto es exactamente lo que la cadena habría producido. La integración por partes es la regla del producto reescrita, y sirve cuando las dos funciones no tienen nada que ver entre sí.
Y hay un hecho que sorprende a quien llega de las derivadas: algunas funciones perfectamente corrientes no tienen primitiva elemental. No es una carencia del método ni de esta página: es un teorema. Para e^(−x²), la campana de Gauss, se demuestra que ninguna combinación finita de polinomios, exponenciales, logaritmos y funciones trigonométricas la integra. La integral definida existe y es un número perfectamente respetable: simplemente se calcula de otra manera.
Errores frecuentes
- Olvidar la constante de integración en la integral indefinida. Las primitivas son infinitas y el + C no es una formalidad.
- Aplicar la regla de la potencia con exponente −1. ∫x⁻¹ dx no es x⁰/0: es ln|x|, y el valor absoluto importa.
- Cambiar la variable en una sustitución y olvidar el diferencial. Si pones u = g(x), dx también debe pasar a du/g′(x).
- Intercambiar los extremos de una integral definida sin cambiar el signo. Permutar a y b cambia el signo del resultado.
- Confundir la integral definida con el área. Coinciden solo donde la función es positiva.
Preguntas frecuentes
¿Por qué el resultado lleva siempre + C?
Porque dos funciones que difieren en una constante tienen la misma derivada: las primitivas de una función son infinitas y solo se diferencian en esa constante. En la integral definida el + C desaparece, porque aparece dos veces con signos opuestos y se cancela.
¿Cuándo se sustituye y cuándo se integra por partes?
La sustitución sirve cuando en el integrando reconoces una función multiplicada por su propia derivada: es la regla de la cadena leída al revés. Las partes sirven para un producto de dos funciones de naturaleza distinta, típicamente un polinomio por una exponencial, un seno o un logaritmo.
¿Por qué a veces no encuentra la primitiva?
Por dos razones distintas. A veces existe pero requiere una técnica fuera del repertorio de esta página. Otras veces no existe: está demostrado que para e^(−x²), para sin(x)/x y para otras, ninguna combinación finita de funciones elementales es una primitiva. La integral definida se calcula igualmente, de forma numérica.
¿Qué diferencia hay entre el resultado exacto y el numérico?
El exacto sale de la primitiva evaluada en los extremos y es correcto hasta la última cifra. El numérico aproxima el área por el método de Simpson: es preciso para el uso normal, pero sigue siendo una aproximación. La página siempre dice cuál de los dos te ha dado.
¿Puede salir negativa una integral definida?
Sí, y no es un error: donde la función está por debajo del eje x su aportación es negativa. Si quieres el área geométrica y no la integral, divide el intervalo donde la función cambia de signo y suma los valores absolutos.
Cómo funciona este cálculo
Linealidad: ∫(a·f + b·g) dx = a∫f dx + b∫g dx. Potencia: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) para n ≠ −1, y ∫x⁻¹ dx = ln|x|. Inmediatas: ∫sin x dx = −cos x, ∫cos x dx = sin x, ∫e^x dx = e^x, ∫tan x dx = −ln|cos x|, ∫dx/(1+x²) = arctan x, ∫dx/(A x² + C) = arctan(x√(A/C))/√(AC), ∫ln x dx = x·ln x − x. Sustitución lineal: ∫f(ax+b) dx = F(ax+b)/a. Sustitución: ∫f(g(x))·g′(x) dx = F(g(x)), la regla de la cadena al revés. Por partes: ∫u dv = u·v − ∫v du, con u el factor que al derivar se simplifica: el polinomio o el logaritmo. Integral definida: ∫ₐᵇ f dx = F(b) − F(a). Cuando no se encuentra primitiva elemental, el valor definido se calcula por el método de Simpson con 2000 intervalos, y la página lo declara.
Cálculos relacionados
Derivadas
Derivada de una función y reglas usadas para obtenerla.
Ecuaciones de primer y segundo grado
Raíces, discriminante, vértice y forma factorizada de ax² + bx + c = 0.
Inecuaciones
Inecuaciones de primer y segundo grado con estudio del signo.
Ecuaciones diferenciales
Ecuaciones diferenciales lineales de primer y segundo orden con coeficientes constantes, con solución y gráfica.