Liniowe równania różniczkowe o stałych współczynnikach

Równania liniowe o stałych współczynnikach

Równanie różniczkowe wiąże funkcję z jej pochodnymi. Liniowe o stałych współczynnikach, a·y″ + b·y′ + c·y = f(x), opisują sprężyny, obwody RLC i RC oraz rozpad promieniotwórczy: to pierwsze, jakie poznaje się na studiach. Rozwiązanie ogólne to suma rozwiązania równania jednorodnego, dla f = 0, i dowolnego rozwiązania szczególnego.

Dla równania jednorodnego przewiduje się y = e^(rx): po podstawieniu zostaje równanie charakterystyczne a·r² + b·r + c = 0. Dwa pierwiastki rzeczywiste dają dwie funkcje wykładnicze, pierwiastek podwójny r daje (C₁ + C₂x)·e^(rx), dwa pierwiastki zespolone α ± iβ dają e^(αx)(C₁ cos βx + C₂ sin βx), czyli drgania tłumione lub narastające.

Rozwiązanie szczególne znajduje się metodą przewidywań: przyjmuje się funkcję tej samej postaci co prawa strona, z nieznanymi współczynnikami. Dla y″ + 3y′ + 2y = 4x + e^(−x) przewiduje się Ax + B oraz, ponieważ e^(−x) już spełnia równanie jednorodne, K·x·e^(−x): wychodzi 2x − 3 + x·e^(−x). Warunki początkowe ustalają następnie stałe.

Częste błędy

Pominięcie mnożenia przez x przy rezonansie: przewidywanie Ke^(−x) dałoby 0 = e^(−x), co jest niemożliwe.
Stosowanie warunków początkowych tylko do rozwiązania jednorodnego zamiast do pełnego.
Zapisywanie pierwiastków zespolonych jako dwóch rzeczywistych funkcji wykładniczych: potrzebne są sinus i cosinus βx.

Najczęstsze pytania

Czym jest zagadnienie Cauchy'ego?

To równanie wraz z warunkami początkowymi: wartością y, a dla drugiego rzędu także y′, w punkcie x₀. Ustalają one stałe i czynią rozwiązanie jednoznacznym.

A jeśli prawa strona jest inna, np. ln x?

Metoda przewidywań działa tylko dla wielomianów, funkcji wykładniczych, sinusów, cosinusów i ich iloczynów. W innych przypadkach stosuje się uzmiennianie stałych, które często prowadzi do całek nieelementarnych.

Co oznaczają pierwiastki zespolone?

Drgania: część urojona β to pulsacja, a część rzeczywista α mówi, czy amplituda maleje (α < 0), rośnie (α > 0), czy pozostaje stała (α = 0).

Jak działa to obliczenie

Jednorodne: a·r² + b·r + c = 0. Δ > 0: y = C₁e^(r₁x) + C₂e^(r₂x); Δ = 0: y = (C₁ + C₂x)e^(rx); Δ < 0: y = e^(αx)(C₁ cos βx + C₂ sin βx). Szczególne dla f = xᵏe^(mx) cos(ωx) lub sin(ωx): zapisuje się f jako część rzeczywistą e^(λx)G(x), λ = m + iω, i szuka y = Re[e^(λx)R(x)] z a·R″ + (2aλ + b)R′ + p(λ)R = G, mnożąc R przez x^s, gdy λ jest pierwiastkiem charakterystycznym krotności s. Warunki początkowe dają układ liniowy dla C₁ i C₂.

Liczby zespolone

Działania, postać algebraiczna, trygonometryczna i wykładnicza, potęgi i pierwiastki n-tego stopnia, z płaszczyzną zespoloną.

Równania pierwszego i drugiego stopnia

Pierwiastki, wyróżnik, wierzchołek i postać iloczynowa równania ax² + bx + c = 0.

Rozkład wielomianu na czynniki

Wyłączanie wspólnego czynnika, schemat Hornera, wzory skróconego mnożenia i trójmiany krok po kroku.

Całki

Funkcja pierwotna oraz całka oznaczona między dwiema granicami.