Mathématiques
Calculatrice d'intégrales : primitive et intégrale définie
Écris la fonction et obtiens sa primitive, ou choisis deux bornes pour l'intégrale définie. Sous le résultat figure la méthode employée, et lorsqu'aucune primitive élémentaire n'existe la page le dit au lieu d'en inventer une.
Intégrer, c'est reconnaître une dérivée à l'envers
Dériver est mécanique : il y a une règle pour chaque structure, et on l'applique. Intégrer non, et c'est pourquoi cela s'apprend ensuite. Il n'existe pas de procédure qui, pour une fonction quelconque, renvoie sa primitive : il existe un répertoire de formes reconnaissables et un ensemble de techniques pour y ramener le reste. Le travail est de reconnaissance, pas d'exécution.
Les deux techniques qui couvrent presque tous les exercices sont la substitution et l'intégration par parties, et ce sont les deux règles de dérivation lues à l'envers. La substitution est la règle de la chaîne : une fonction composée multipliée par la dérivée de ce qu'elle contient est exactement ce que la chaîne aurait produit. L'intégration par parties est la règle du produit réécrite, et elle sert quand les deux fonctions n'ont rien à voir l'une avec l'autre.
Et puis il y a ce fait qui surprend tous ceux qui arrivent des dérivées : certaines fonctions parfaitement ordinaires n'ont pas de primitive élémentaire. Ce n'est pas une lacune de la méthode ni de cette page, c'est un théorème. Pour e^(−x²), la cloche de Gauss, on démontre qu'aucune combinaison finie de polynômes, d'exponentielles, de logarithmes et de fonctions trigonométriques ne l'intègre. L'intégrale définie existe et vaut un nombre parfaitement respectable : elle se calcule simplement autrement.
Erreurs fréquentes
- Oublier la constante d'intégration dans une intégrale indéfinie. Les primitives sont en nombre infini et le + C n'est pas une formalité.
- Appliquer la règle de la puissance avec l'exposant −1. ∫x⁻¹ dx n'est pas x⁰/0 : c'est ln|x|, et la valeur absolue compte.
- Changer la variable dans une substitution et oublier le différentiel. Si u = g(x), dx doit aussi devenir du/g′(x).
- Échanger les bornes d'une intégrale définie sans changer le signe. Permuter a et b change le signe du résultat.
- Confondre intégrale définie et aire. Elles ne coïncident que là où la fonction est positive.
Questions fréquentes
Pourquoi le résultat porte-t-il toujours un + C ?
Parce que deux fonctions différant d'une constante ont la même dérivée : une fonction a une infinité de primitives, qui ne diffèrent que par cette constante. Dans une intégrale définie le + C disparaît, car il apparaît deux fois avec des signes opposés et se simplifie.
Quand substitue-t-on, quand intègre-t-on par parties ?
La substitution sert quand on reconnaît dans l'intégrande une fonction multipliée par la dérivée de son propre intérieur : c'est la règle de la chaîne lue à l'envers. Les parties servent pour un produit de deux fonctions de nature différente, typiquement un polynôme par une exponentielle, un sinus ou un logarithme.
Pourquoi ne trouve-t-elle parfois pas la primitive ?
Pour deux raisons distinctes. Parfois elle existe mais demande une technique hors du répertoire de cette page. Parfois il n'y en a aucune : il est démontré que pour e^(−x²), pour sin(x)/x et pour d'autres, aucune combinaison finie de fonctions élémentaires n'est une primitive. L'intégrale définie se calcule quand même, numériquement.
Quelle différence entre le résultat exact et le numérique ?
L'exact vient de la primitive évaluée aux bornes et est juste jusqu'au dernier chiffre. Le numérique approche l'aire par la méthode de Simpson : assez précis pour un usage courant, mais une approximation. La page dit toujours lequel des deux elle a donné.
Une intégrale définie peut-elle être négative ?
Oui, et ce n'est pas une erreur : là où la fonction passe sous l'axe des x, sa contribution est négative. Pour l'aire géométrique plutôt que l'intégrale, il faut découper l'intervalle aux changements de signe et additionner les valeurs absolues.
Comment ce calcul fonctionne
Linéarité : ∫(a·f + b·g) dx = a∫f dx + b∫g dx. Puissance : ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) pour n ≠ −1, et ∫x⁻¹ dx = ln|x|. Immédiates : ∫sin x dx = −cos x, ∫cos x dx = sin x, ∫e^x dx = e^x, ∫tan x dx = −ln|cos x|, ∫dx/(1+x²) = arctan x, ∫dx/(A x² + C) = arctan(x√(A/C))/√(AC), ∫ln x dx = x·ln x − x. Substitution linéaire : ∫f(ax+b) dx = F(ax+b)/a. Substitution : ∫f(g(x))·g′(x) dx = F(g(x)), la règle de la chaîne à l'envers. Par parties : ∫u dv = u·v − ∫v du, avec u le facteur qui se simplifie en dérivant — le polynôme ou le logarithme. Intégrale définie : ∫ₐᵇ f dx = F(b) − F(a). Quand aucune primitive élémentaire n'est trouvée, la valeur définie est calculée par la méthode de Simpson sur 2000 intervalles, et la page le déclare.
Calculs liés
Dérivées
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