Mathematik
Definitionsbereich einer Funktion: Bedingungen und Intervalle
Gib die Funktion ein und erhalte die Bedingungen, die sie an x stellt, eine für jeden Nenner, jede Wurzel, jeden Logarithmus und Arkussinus, und den Definitionsbereich, der sie alle erfüllt, mit runden und eckigen Klammern an der richtigen Stelle.
Wo sich eine Funktion berechnen lässt, und wo nicht
Der Definitionsbereich einer Funktion ist die Menge der reellen Zahlen, für die der Ausdruck eine reelle Zahl liefert. Er wird nicht geraten, sondern als Liste von Bedingungen aufgeschrieben: Jeder Teil des Ausdrucks, der scheitern kann, stellt eine, und der Definitionsbereich ist dort, wo alle gleichzeitig gelten. Es ist ein System, keine einzelne Ungleichung.
Scheitern können vier Dinge. Ein Nenner darf nicht null werden. Der Radikand einer Quadratwurzel, oder jeder Wurzel mit geradem Index, darf nicht negativ sein. Das Argument eines Logarithmus muss echt positiv sein: ln 0 existiert nicht, ebenso wenig der Logarithmus einer negativen Zahl. Das Argument von Arkussinus und Arkuskosinus muss zwischen −1 und 1 liegen. Wurzeln mit ungeradem Index, Exponentialfunktionen, Sinus, Kosinus und Polynome stellen keine Bedingung.
Die Klammern tragen den Unterschied zwischen ≥ und >. Der Radikand von √(x − 2) darf null werden, also gehört 2 dazu und die Klammer ist eckig: [2; +∞). Das Argument von ln(x − 2) nicht, also ist 2 ausgeschlossen und die Klammer rund: (2; +∞). Unendlich bekommt immer eine runde Klammer, denn es ist keine Zahl, an der sich die Funktion auswerten lässt.
Häufige Fehler
- Für eine Wurzel im Nenner ≥ 0 schreiben: In 1/√x darf der Radikand auch nicht null sein, die Bedingung ist also x > 0.
- Vor der Bestimmung des Definitionsbereichs kürzen. (x² − 4)/(x − 2) lässt sich zu x + 2 kürzen, aber die Ausgangsfunktion ist bei x = 2 nicht definiert, und diese Stelle bleibt ausgeschlossen.
- Eine Bedingung an eine Wurzel mit ungeradem Index stellen. ∛x ist für jedes reelle x definiert, auch für negative: ∛(−8) = −2.
- Die Bedingungen einzeln lösen und vereinigen statt schneiden: x muss alle gleichzeitig erfüllen.
Häufige Fragen
Wie bestimmt man den Definitionsbereich einer Funktion?
Man schreibt für jeden Teil des Ausdrucks, der scheitern kann, eine Bedingung auf — Nenner ≠ 0, Radikanden von Wurzeln mit geradem Index ≥ 0, Argumente von Logarithmen > 0, Argumente von Arkussinus und Arkuskosinus zwischen −1 und 1 — und löst sie als System. Der Definitionsbereich ist die Menge der x, die alle erfüllen.
Was ist der Definitionsbereich eines Polynoms?
Ganz ℝ: Ein Polynom besteht nur aus Summen und Produkten, und die lassen sich immer berechnen. Dasselbe gilt für Exponentialfunktionen, Sinus, Kosinus und Wurzeln mit ungeradem Index.
Wann ist die Klammer rund und wann eckig?
Eckig, wenn der Randpunkt zum Definitionsbereich gehört, rund, wenn nicht. Die Nullstelle eines Radikanden gehört dazu, die Nullstelle eines Nenners oder des Arguments eines Logarithmus nicht, und ±∞ bekommt immer eine runde Klammer.
Warum ist der Definitionsbereich von tan x nicht ganz ℝ?
Weil tan x = sin x / cos x ist und cos x bei π/2 und jedem ungeraden Vielfachen davon null wird. Der Definitionsbereich sind alle reellen Zahlen außer x = π/2 + kπ, mit ganzem k.
So funktioniert die Berechnung
Bedingungen: für a/b gilt b ≠ 0; für eine Wurzel mit geradem Index ⁿ√a gilt a ≥ 0 (a > 0, wenn die Wurzel im Nenner steht); für ln a und Logarithmen jeder Basis gilt a > 0; für arcsin a und arccos a gilt −1 ≤ a ≤ 1; für tan a gilt cos a ≠ 0; für eine Potenz mit variablem Exponenten eine positive Basis. Die Bedingungen werden numerisch auf einem feinen Gitter gelöst, und jeder Randpunkt wird je nach seiner Bedingung ein- oder ausgeschlossen: Ein Radikand darf null und das Argument eines Arkussinus ±1 erreichen, ein Nenner und das Argument eines Logarithmus nicht. Jeder Randpunkt wird dann exakt geschrieben, wenn er ein Bruch, eine Wurzel, ein Vielfaches von π oder die Lösung einer quadratischen Gleichung ist.
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