Domínio de uma função online, com as condições

Onde uma função pode ser calculada, e onde não

O domínio de uma função é o conjunto dos números reais para os quais a expressão dá um número real. Não é uma propriedade para adivinhar, mas uma lista de condições para escrever: cada parte da expressão que pode falhar impõe uma, e o domínio é onde todas valem ao mesmo tempo. É um sistema, não uma inequação só.

As partes que podem falhar são quatro. Um denominador não pode se anular. O radicando de uma raiz quadrada, ou de qualquer raiz de índice par, não pode ser negativo. O argumento de um logaritmo tem de ser estritamente positivo: ln 0 não existe, nem o logaritmo de um número negativo. O argumento do arco-seno e do arco-cosseno tem de estar entre −1 e 1. Raízes de índice ímpar, exponenciais, seno, cosseno e polinômios não impõem nenhuma condição.

Os colchetes carregam a diferença entre ≥ e >. O radicando de √(x − 2) pode se anular, então 2 pertence ao domínio e o colchete é fechado: [2; +∞). O argumento de ln(x − 2) não, então 2 fica de fora e o parêntese é aberto: (2; +∞). O infinito leva sempre parêntese, porque não é um número em que se possa calcular a função.

Erros frequentes

Escrever ≥ 0 para uma raiz no denominador: em 1/√x o radicando também não pode se anular, então a condição é x > 0.
Simplificar antes de achar o domínio. (x² − 4)/(x − 2) se simplifica em x + 2, mas a função de partida não está definida em x = 2, e esse ponto continua fora do domínio.
Impor condição a uma raiz de índice ímpar. ∛x está definida para todo x real, negativos incluídos: ∛(−8) = −2.
Resolver as condições separadamente e fazer a união em vez da interseção: x precisa satisfazer todas ao mesmo tempo.

Perguntas frequentes

Como se encontra o domínio de uma função?

Escreve-se uma condição para cada parte da expressão que pode falhar — denominadores ≠ 0, radicandos de raízes de índice par ≥ 0, argumentos de logaritmos > 0, argumentos de arco-seno e arco-cosseno entre −1 e 1 — e resolve-se tudo como sistema. O domínio é o conjunto dos x que satisfazem todas.

Qual é o domínio de um polinômio?

Todo o conjunto dos números reais, ℝ: um polinômio só tem somas e produtos, que sempre podem ser calculados. O mesmo vale para exponenciais, seno, cosseno e raízes de índice ímpar.

Quando se usa parêntese e quando colchete?

Colchete quando o extremo pertence ao domínio, parêntese quando não. A raiz de um radicando é incluída, a raiz de um denominador ou do argumento de um logaritmo não, e ±∞ leva sempre parêntese.

Por que o domínio de tg x não é todo ℝ?

Porque tg x = sen x / cos x, e cos x se anula em π/2 e em todos os seus múltiplos ímpares. O domínio é todo número real exceto x = π/2 + kπ, com k inteiro.

Como funciona este cálculo

Condições de existência: para a/b, b ≠ 0; para uma raiz de índice par ⁿ√a, a ≥ 0 (a > 0 se a raiz está num denominador); para ln a e logaritmos em qualquer base, a > 0; para arcsen a e arccos a, −1 ≤ a ≤ 1; para tg a, cos a ≠ 0; para uma potência com expoente variável, base positiva. As condições são resolvidas numericamente numa malha fina, e cada extremo é incluído ou excluído conforme sua condição: um radicando pode chegar a zero e o argumento de um arco-seno a ±1, um denominador e o argumento de um logaritmo não. Cada extremo é depois escrito na forma exata quando é uma fração, uma raiz, um múltiplo de π ou a solução de uma equação do segundo grau.

Estudo de funções

Domínio, sinal, limites, assíntotas, máximos e mínimos, concavidade e gráfico, tudo de uma vez.

Limites

Limites laterais e no infinito, com a indeterminação de partida.

Assíntotas

Assíntotas verticais, horizontais e oblíquas, com os limites que as comprovam.

Derivadas

A derivada de uma função e as regras usadas para chegar a ela.