Dominio de una función online, con las condiciones

Dónde se puede calcular una función, y dónde no

El dominio de una función es el conjunto de números reales para los que la expresión da un número real. No es una propiedad que se adivina sino una lista de condiciones que se escriben: cada parte de la expresión que puede fallar impone una, y el dominio es donde se cumplen todas a la vez. Es un sistema, no una sola inecuación.

Las partes que pueden fallar son cuatro. Un denominador no puede anularse. El radicando de una raíz cuadrada, o de cualquier raíz de índice par, no puede ser negativo. El argumento de un logaritmo debe ser estrictamente positivo: ln 0 no existe, ni tampoco el logaritmo de un número negativo. El argumento del arcoseno y del arcocoseno debe estar entre −1 y 1. Las raíces de índice impar, las exponenciales, el seno, el coseno y los polinomios no imponen ninguna condición.

Los corchetes llevan la diferencia entre ≥ y >. El radicando de √(x − 2) puede anularse, así que 2 pertenece al dominio y el corchete es cerrado: [2; +∞). El argumento de ln(x − 2) no, así que 2 queda fuera y el paréntesis es abierto: (2; +∞). El infinito lleva siempre paréntesis, porque no es un número en el que se pueda evaluar la función.

Errores frecuentes

Escribir ≥ 0 para una raíz en el denominador: en 1/√x el radicando tampoco puede anularse, así que la condición es x > 0.
Simplificar antes de hallar el dominio. (x² − 4)/(x − 2) se simplifica en x + 2, pero la función de partida no está definida en x = 2, y ese punto sigue fuera del dominio.
Poner una condición a una raíz de índice impar. ∛x está definida para todo x real, negativos incluidos: ∛(−8) = −2.
Resolver las condiciones por separado y tomar la unión en lugar de la intersección: x tiene que cumplirlas todas a la vez.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula el dominio de una función?

Se escribe una condición por cada parte de la expresión que puede fallar — denominadores ≠ 0, radicandos de raíces de índice par ≥ 0, argumentos de logaritmos > 0, argumentos de arcoseno y arcocoseno entre −1 y 1 — y se resuelven como sistema. El dominio es el conjunto de los x que las cumplen todas.

¿Cuál es el dominio de un polinomio?

Todo el conjunto de los números reales, ℝ: un polinomio solo tiene sumas y productos, que siempre se pueden calcular. Lo mismo vale para exponenciales, seno, coseno y raíces de índice impar.

¿Cuándo se usa paréntesis y cuándo corchete?

Corchete cuando el extremo pertenece al dominio, paréntesis cuando no. El cero de un radicando se incluye, el cero de un denominador o del argumento de un logaritmo no, y ±∞ lleva siempre paréntesis.

¿Por qué el dominio de tan x no es todo ℝ?

Porque tan x = sen x / cos x, y cos x se anula en π/2 y en todos sus múltiplos impares. El dominio es todo número real salvo x = π/2 + kπ, con k entero.

Cómo funciona este cálculo

Condiciones de existencia: para a/b, b ≠ 0; para una raíz de índice par ⁿ√a, a ≥ 0 (a > 0 si la raíz está en un denominador); para ln a y los logaritmos en cualquier base, a > 0; para arcsen a y arccos a, −1 ≤ a ≤ 1; para tan a, cos a ≠ 0; para una potencia con exponente variable, base positiva. Las condiciones se resuelven numéricamente en una malla fina, y cada extremo se incluye o se excluye según su condición: un radicando puede llegar a cero y el argumento de un arcoseno a ±1, un denominador y el argumento de un logaritmo no. Cada extremo se escribe después en forma exacta cuando es una fracción, una raíz, un múltiplo de π o la solución de una ecuación de segundo grado.

Estudio de funciones

Dominio, signo, límites, asíntotas, máximos y mínimos, concavidad y gráfica, todo a la vez.

Límites

Límites laterales y en el infinito, con la indeterminación de partida.

Asíntotas

Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas, con los límites que las demuestran.

Derivadas

Derivada de una función y reglas usadas para obtenerla.