Domaine de définition d'une fonction en ligne

Où une fonction se calcule, et où elle ne se calcule pas

Le domaine de définition d'une fonction est l'ensemble des réels pour lesquels l'expression donne un nombre réel. Ce n'est pas une propriété qu'on devine, mais une liste de conditions qu'on écrit : chaque partie de l'expression qui peut échouer en impose une, et le domaine est l'ensemble où elles sont toutes vraies à la fois. C'est un système, pas une seule inéquation.

Quatre parties peuvent échouer. Un dénominateur ne doit pas s'annuler. Le radicande d'une racine carrée, ou de toute racine d'indice pair, ne doit pas être négatif. L'argument d'un logarithme doit être strictement positif : ln 0 n'existe pas, pas plus que le logarithme d'un nombre négatif. L'argument de l'arcsinus et de l'arccosinus doit être compris entre −1 et 1. Les racines d'indice impair, les exponentielles, le sinus, le cosinus et les polynômes n'imposent aucune condition.

Les crochets portent la différence entre ≥ et >. Le radicande de √(x − 2) peut s'annuler, donc 2 appartient au domaine et le crochet est fermé : [2 ; +∞[. L'argument de ln(x − 2) non, donc 2 est exclu et le crochet est ouvert : ]2 ; +∞[. L'infini prend toujours un crochet ouvert, car ce n'est pas un nombre où l'on puisse calculer la fonction.

Erreurs fréquentes

Écrire ≥ 0 pour une racine au dénominateur : dans 1/√x le radicande ne peut pas non plus s'annuler, la condition est donc x > 0.
Simplifier avant de chercher le domaine. (x² − 4)/(x − 2) se simplifie en x + 2, mais la fonction de départ n'est pas définie en x = 2, et ce point reste hors du domaine.
Imposer une condition à une racine d'indice impair. ∛x est définie pour tout réel x, négatifs compris : ∛(−8) = −2.
Résoudre les conditions séparément et en prendre la réunion au lieu de l'intersection : x doit les vérifier toutes en même temps.

Questions fréquentes

Comment trouve-t-on le domaine de définition d'une fonction ?

On écrit une condition pour chaque partie de l'expression qui peut échouer — dénominateurs ≠ 0, radicandes des racines d'indice pair ≥ 0, arguments des logarithmes > 0, arguments de l'arcsinus et de l'arccosinus entre −1 et 1 — et on les résout ensemble. Le domaine est l'ensemble des x qui les vérifient toutes.

Quel est le domaine de définition d'un polynôme ?

Tout ℝ : un polynôme n'est fait que de sommes et de produits, qui se calculent toujours. Il en va de même pour les exponentielles, le sinus, le cosinus et les racines d'indice impair.

Quand le crochet est-il ouvert, et quand fermé ?

Fermé quand la borne appartient au domaine, ouvert sinon. Le zéro d'un radicande est inclus, le zéro d'un dénominateur ou de l'argument d'un logarithme ne l'est pas, et ±∞ prend toujours un crochet ouvert.

Pourquoi le domaine de tan x n'est-il pas ℝ tout entier ?

Parce que tan x = sin x / cos x, et cos x s'annule en π/2 et en chacun de ses multiples impairs. Le domaine est l'ensemble des réels sauf x = π/2 + kπ, avec k entier.

Comment fonctionne ce calcul

Conditions d'existence : pour a/b, b ≠ 0 ; pour une racine d'indice pair ⁿ√a, a ≥ 0 (a > 0 si la racine est au dénominateur) ; pour ln a et les logarithmes de toute base, a > 0 ; pour arcsin a et arccos a, −1 ≤ a ≤ 1 ; pour tan a, cos a ≠ 0 ; pour une puissance à exposant variable, une base positive. Les conditions sont résolues numériquement sur une grille fine, et chaque borne est incluse ou exclue selon sa condition : un radicande peut atteindre zéro et l'argument d'un arcsinus ±1, un dénominateur et l'argument d'un logarithme non. Chaque borne est ensuite écrite sous forme exacte quand c'est une fraction, une racine, un multiple de π ou la solution d'une équation du second degré.

Étude de fonction

Domaine, signe, limites, asymptotes, extremums, convexité et courbe, en une seule fois.

Limites

Limites à gauche, à droite et à l'infini, avec la forme indéterminée de départ.

Asymptotes

Asymptotes verticales, horizontales et obliques, avec les limites qui les justifient.

Dérivées

La dérivée d'une fonction et les règles utilisées pour l'obtenir.