Calcul de limites : à gauche, à droite, formes indéterminées

Ce que dit une limite, et à quoi servent les formes indéterminées

La limite de f(x) quand x tend vers a est la valeur dont f(x) s'approche quand x s'approche de a, quoi qu'il se passe en a lui-même. La fonction n'a même pas besoin d'y être définie : sin x / x ne se calcule pas en 0, et pourtant ses valeurs s'approchent de 1 des deux côtés. C'est tout le sens d'une limite : elle décrit l'approche, pas l'arrivée.

S'approcher par la gauche et par la droite sont deux questions distinctes. Quand elles donnent la même valeur, c'est la limite ; quand elles diffèrent, la limite n'existe pas. 1/x près de 0 part vers −∞ à gauche et vers +∞ à droite, ce qui est exactement la signature d'une asymptote verticale. En ±∞, il n'y a qu'un côté d'où venir.

Une forme indéterminée n'est pas une réponse mais un avertissement : remplacer ne dit rien. 0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 0 × ∞, 1^∞, 0⁰ et ∞⁰ peuvent aboutir à n'importe quelle valeur, et le travail consiste à réécrire l'expression jusqu'à ce que la forme disparaisse : factoriser, utiliser la quantité conjuguée, une limite usuelle ou la règle de L'Hôpital. La forme indiquée ici dit quel type de transformation il faut.

Erreurs fréquentes

Lire 0/0 comme 0 ou comme 1. C'est une forme, pas un nombre : (x² − 1)/(x − 1) tend vers 2 quand x → 1, sin x / x vers 1 et x²/x vers 0.
Traiter 1^∞ comme 1. (1 + 1/x)^x tend vers e, pas vers 1, car la base s'approche de 1 exactement aussi vite que l'exposant grandit.
Donner une limite là où les limites latérales diffèrent : la limite de 1/x quand x → 0 n'existe pas, car les deux côtés partent vers −∞ et +∞.
Conclure qu'une limite n'existe pas parce que la fonction n'est pas définie au point : la limite ne regarde que les valeurs voisines.

Questions fréquentes

Quand une limite n'existe-t-elle pas ?

Quand les limites à gauche et à droite sont différentes, comme pour 1/x en 0, ou quand la fonction continue d'osciller sans se stabiliser, comme sin(1/x) près de 0 ou sin x à l'infini.

Quelles sont les formes indéterminées ?

0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 0 × ∞, 1^∞, 0⁰ et ∞⁰. En remplaçant le point on obtient l'une d'elles, qui ne dit rien de la limite : il faut réécrire l'expression jusqu'à ce qu'elle disparaisse.

Que vaut la limite de sin x / x quand x tend vers 0 ?

1. C'est la première des limites usuelles, et c'est une forme 0/0 : le sinus d'un petit angle est presque égal à l'angle lui-même, donc le quotient s'approche de 1 des deux côtés.

Comment la calculatrice trouve-t-elle une limite ?

Elle évalue la fonction en des points de plus en plus proches de celui demandé et lit la limite là où les valeurs cessent de changer, avant que l'erreur d'arrondi n'intervienne. Une valeur qui se stabilise est écrite sous forme exacte quand elle est reconnue — 1/2, e, √2 — et une valeur qui continue de croître est donnée comme ±∞.

Comment fonctionne ce calcul

lim x→a f(x) = L quand f(x) est aussi proche qu'on veut de L dès que x est assez proche de a, a exclu. Limite à gauche : x → a⁻, avec x < a ; à droite : x → a⁺, avec x > a. La limite existe quand les deux limites latérales existent et sont égales. Limites usuelles : lim x→0 sin x / x = 1, lim x→0 (1 − cos x)/x² = 1/2, lim x→0 (eˣ − 1)/x = 1, lim x→0 ln(1 + x)/x = 1, lim x→±∞ (1 + 1/x)^x = e. Numériquement, f est évaluée en a ± h avec h = 10^(−k/2), k = 2, 3, …, 20, ou en x = ±10^(k/2) vers l'infini ; la limite est lue là où les écarts entre valeurs successives cessent de diminuer.

Étude de fonction

Domaine, signe, limites, asymptotes, extremums, convexité et courbe, en une seule fois.

Domaine de définition

Les conditions d'existence et le domaine écrit comme réunion d'intervalles.

Asymptotes

Asymptotes verticales, horizontales et obliques, avec les limites qui les justifient.

Dérivées

La dérivée d'une fonction et les règles utilisées pour l'obtenir.