Grenzwert Rechner: einseitig, im Unendlichen, unbestimmt

Was ein Grenzwert aussagt, und wozu unbestimmte Formen da sind

Der Grenzwert von f(x) für x gegen a ist der Wert, dem sich f(x) nähert, wenn sich x an a nähert, egal was an der Stelle a selbst passiert. Die Funktion muss dort nicht einmal definiert sein: sin x / x lässt sich bei 0 nicht berechnen, und doch nähern sich ihre Werte von beiden Seiten 1. Genau darum geht es: Der Grenzwert beschreibt die Annäherung, nicht die Ankunft.

Die Annäherung von links und von rechts sind zwei verschiedene Fragen. Liefern beide denselben Wert, ist das der Grenzwert; unterscheiden sie sich, existiert er nicht. 1/x läuft nahe 0 von links gegen −∞ und von rechts gegen +∞, genau das Kennzeichen einer senkrechten Asymptote. Bei ±∞ gibt es nur eine Seite, von der man kommen kann.

Eine unbestimmte Form ist keine Antwort, sondern ein Hinweis, dass Einsetzen nichts verrät. 0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 0 · ∞, 1^∞, 0⁰ und ∞⁰ können auf jeden Wert hinauslaufen, und die Arbeit besteht darin, den Ausdruck umzuformen, bis die Form verschwindet: faktorisieren, erweitern, einen bekannten Grenzwert nutzen oder die Regel von L'Hospital. Die hier angezeigte Form sagt, welche Art Umformung nötig ist.

Häufige Fehler

0/0 als 0 oder als 1 lesen. Es ist eine Form, keine Zahl: (x² − 1)/(x − 1) geht für x → 1 gegen 2, sin x / x gegen 1 und x²/x gegen 0.
1^∞ als 1 behandeln. (1 + 1/x)^x geht gegen e, nicht gegen 1, weil sich die Basis genauso schnell an 1 annähert, wie der Exponent wächst.
Einen Grenzwert angeben, wo die einseitigen verschieden sind: Der Grenzwert von 1/x für x → 0 existiert nicht, weil die beiden Seiten gegen −∞ und +∞ gehen.
Schließen, dass ein Grenzwert nicht existiert, weil die Funktion an der Stelle nicht definiert ist: Der Grenzwert betrachtet nur die Werte in der Nähe.

Häufige Fragen

Wann existiert ein Grenzwert nicht?

Wenn links- und rechtsseitiger Grenzwert verschieden sind, wie bei 1/x an der Stelle 0, oder wenn die Funktion weiter schwingt, ohne sich einzupendeln, wie sin(1/x) nahe 0 oder sin x im Unendlichen.

Welche unbestimmten Formen gibt es?

0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 0 · ∞, 1^∞, 0⁰ und ∞⁰. Beim Einsetzen der Stelle ergibt sich eine davon, und sie sagt nichts über den Grenzwert: Der Ausdruck muss umgeformt werden, bis sie verschwindet.

Was ist der Grenzwert von sin x / x für x gegen 0?

1. Es ist der erste der bekannten Standardgrenzwerte und eine Form 0/0: Der Sinus eines kleinen Winkels ist fast gleich dem Winkel selbst, also nähert sich der Quotient von beiden Seiten 1.

Wie berechnet der Rechner einen Grenzwert?

Er wertet die Funktion an Stellen aus, die immer näher an der gesuchten liegen, und liest den Grenzwert dort ab, wo sich die Werte nicht mehr ändern, bevor Rundungsfehler einsetzen. Ein Wert, der sich einpendelt, wird exakt geschrieben, wenn er erkannt wird — 1/2, e, √2 —, und einer, der weiter wächst, als ±∞ angegeben.

So funktioniert die Berechnung

lim x→a f(x) = L, wenn f(x) beliebig nahe an L kommt, sobald x nahe genug an a ist, a selbst ausgenommen. Linksseitig: x → a⁻, mit x < a; rechtsseitig: x → a⁺, mit x > a. Der Grenzwert existiert, wenn beide einseitigen Grenzwerte existieren und übereinstimmen. Standardgrenzwerte: lim x→0 sin x / x = 1, lim x→0 (1 − cos x)/x² = 1/2, lim x→0 (eˣ − 1)/x = 1, lim x→0 ln(1 + x)/x = 1, lim x→±∞ (1 + 1/x)^x = e. Numerisch wird f bei a ± h mit h = 10^(−k/2), k = 2, 3, …, 20, ausgewertet, oder bei x = ±10^(k/2) gegen unendlich; der Grenzwert wird dort abgelesen, wo die Differenzen aufeinanderfolgender Werte nicht mehr kleiner werden.

Kurvendiskussion

Definitionsbereich, Vorzeichen, Grenzwerte, Asymptoten, Extrema, Krümmung und Graph in einem Durchgang.

Definitionsbereich

Die Bedingungen für den Definitionsbereich und die Menge als Vereinigung von Intervallen.

Asymptoten

Senkrechte, waagerechte und schiefe Asymptoten mit den Grenzwerten, die sie belegen.

Ableitungen

Die Ableitung einer Funktion und die Regeln, die dazu nötig waren.