Calculadora de límites: laterales e indeterminaciones

Qué dice un límite, y para qué sirven las indeterminaciones

El límite de f(x) cuando x tiende a a es el valor al que se acerca f(x) cuando x se acerca a a, pase lo que pase en a mismo. La función ni siquiera tiene que estar definida allí: sen x / x no se puede calcular en 0, y sin embargo sus valores se acercan a 1 por los dos lados. Ese es el sentido de un límite: describe el acercamiento, no la llegada.

Acercarse por la izquierda y por la derecha son dos preguntas distintas. Cuando dan el mismo valor, ese es el límite; cuando difieren, el límite no existe. 1/x cerca de 0 va a −∞ por la izquierda y a +∞ por la derecha, que es exactamente la firma de una asíntota vertical. En ±∞ solo hay un lado por el que llegar.

Una indeterminación no es una respuesta sino un aviso de que sustituir no dice nada. 0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 0 · ∞, 1^∞, 0⁰ e ∞⁰ pueden acabar en cualquier valor, y el trabajo consiste en reescribir la expresión hasta que la indeterminación desaparezca: factorizar, racionalizar, usar un límite notable o la regla de L'Hôpital. La indeterminación que se muestra aquí dice qué tipo de transformación hace falta.

Errores frecuentes

Leer 0/0 como 0 o como 1. Es una indeterminación, no un número: (x² − 1)/(x − 1) tiende a 2 cuando x → 1, sen x / x a 1 y x²/x a 0.
Tratar 1^∞ como 1. (1 + 1/x)^x tiende a e, no a 1, porque la base se acerca a 1 exactamente tan rápido como crece el exponente.
Dar un límite donde los laterales son distintos: el límite de 1/x cuando x → 0 no existe, porque los dos lados van a −∞ y a +∞.
Concluir que un límite no existe porque la función no está definida en el punto: el límite solo mira los valores cercanos.

Preguntas frecuentes

¿Cuándo no existe un límite?

Cuando los límites por la izquierda y por la derecha son distintos, como en 1/x en 0, o cuando la función sigue oscilando sin estabilizarse, como sen(1/x) cerca de 0 o sen x en el infinito.

¿Cuáles son las indeterminaciones?

0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 0 · ∞, 1^∞, 0⁰ e ∞⁰. Al sustituir el punto se obtiene una de ellas, que no dice nada del límite: hay que reescribir la expresión hasta que desaparezca.

¿Cuánto vale el límite de sen x / x cuando x tiende a 0?

1. Es el primero de los límites notables y es una indeterminación 0/0: el seno de un ángulo pequeño es casi igual al propio ángulo, así que el cociente se acerca a 1 por los dos lados.

¿Cómo calcula el límite esta calculadora?

Evalúa la función en puntos cada vez más cercanos al pedido y lee el límite donde los valores dejan de cambiar, antes de que intervenga el error de redondeo. Un valor que se estabiliza se escribe en forma exacta cuando se reconoce — 1/2, e, √2 — y uno que sigue creciendo se indica como ±∞.

Cómo funciona este cálculo

lim x→a f(x) = L cuando f(x) se acerca tanto como se quiera a L al acercarse x a a, excluido a. Límite por la izquierda: x → a⁻, con x < a; por la derecha: x → a⁺, con x > a. El límite existe cuando existen los dos límites laterales y coinciden. Límites notables: lim x→0 sen x / x = 1, lim x→0 (1 − cos x)/x² = 1/2, lim x→0 (eˣ − 1)/x = 1, lim x→0 ln(1 + x)/x = 1, lim x→±∞ (1 + 1/x)^x = e. Numéricamente f se evalúa en a ± h con h = 10^(−k/2), k = 2, 3, …, 20, o en x = ±10^(k/2) hacia el infinito; el límite se lee donde las diferencias entre valores consecutivos dejan de reducirse.

Estudio de funciones

Dominio, signo, límites, asíntotas, máximos y mínimos, concavidad y gráfica, todo a la vez.

Dominio de una función

Las condiciones de existencia y el dominio escrito como unión de intervalos.

Asíntotas

Asíntotas verticales, horizontales y oblicuas, con los límites que las demuestran.

Derivadas

Derivada de una función y reglas usadas para obtenerla.