Calculadora de limites: laterais e indeterminações

O que um limite diz, e para que servem as indeterminações

O limite de f(x) quando x tende a a é o valor do qual f(x) se aproxima quando x se aproxima de a, aconteça o que acontecer no próprio a. A função nem precisa estar definida ali: sen x / x não pode ser calculada em 0, e mesmo assim seus valores se aproximam de 1 pelos dois lados. É esse o sentido de um limite: ele descreve a aproximação, não a chegada.

Aproximar-se pela esquerda e pela direita são duas perguntas distintas. Quando dão o mesmo valor, esse é o limite; quando diferem, o limite não existe. 1/x perto de 0 vai a −∞ pela esquerda e a +∞ pela direita, que é exatamente a marca de uma assíntota vertical. Em ±∞ há um só lado por onde chegar.

Uma indeterminação não é uma resposta, mas um aviso de que substituir não diz nada. 0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 0 · ∞, 1^∞, 0⁰ e ∞⁰ podem terminar em qualquer valor, e o trabalho é reescrever a expressão até a indeterminação sumir: fatorar, racionalizar, usar um limite fundamental ou a regra de L'Hôpital. A indeterminação mostrada aqui diz que tipo de transformação é necessária.

Erros frequentes

Ler 0/0 como 0 ou como 1. É uma indeterminação, não um número: (x² − 1)/(x − 1) tende a 2 quando x → 1, sen x / x a 1 e x²/x a 0.
Tratar 1^∞ como 1. (1 + 1/x)^x tende a e, não a 1, porque a base se aproxima de 1 exatamente tão rápido quanto o expoente cresce.
Dar um limite onde os laterais são diferentes: o limite de 1/x quando x → 0 não existe, porque os dois lados vão a −∞ e a +∞.
Concluir que um limite não existe porque a função não está definida no ponto: o limite só olha os valores próximos.

Perguntas frequentes

Quando um limite não existe?

Quando os limites pela esquerda e pela direita são diferentes, como para 1/x em 0, ou quando a função continua oscilando sem se estabilizar, como sen(1/x) perto de 0 ou sen x no infinito.

Quais são as indeterminações?

0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 0 · ∞, 1^∞, 0⁰ e ∞⁰. Ao substituir o ponto obtém-se uma delas, que não diz nada sobre o limite: a expressão precisa ser reescrita até a indeterminação sumir.

Quanto vale o limite de sen x / x quando x tende a 0?

1. É o primeiro limite fundamental e uma indeterminação 0/0: o seno de um ângulo pequeno é quase igual ao próprio ângulo, então o quociente se aproxima de 1 pelos dois lados.

Como a calculadora encontra um limite?

Ela calcula a função em pontos cada vez mais próximos do pedido e lê o limite onde os valores param de mudar, antes que o erro de arredondamento interfira. Um valor que se estabiliza é escrito na forma exata quando é reconhecido — 1/2, e, √2 — e um que continua crescendo é indicado como ±∞.

Como funciona este cálculo

lim x→a f(x) = L quando f(x) fica tão perto de L quanto se queira ao aproximar x de a, excluído a. Limite pela esquerda: x → a⁻, com x < a; pela direita: x → a⁺, com x > a. O limite existe quando existem os dois limites laterais e eles coincidem. Limites fundamentais: lim x→0 sen x / x = 1, lim x→0 (1 − cos x)/x² = 1/2, lim x→0 (eˣ − 1)/x = 1, lim x→0 ln(1 + x)/x = 1, lim x→±∞ (1 + 1/x)^x = e. Numericamente f é calculada em a ± h com h = 10^(−k/2), k = 2, 3, …, 20, ou em x = ±10^(k/2) rumo ao infinito; o limite é lido onde as diferenças entre valores consecutivos param de diminuir.

Estudo de funções

Domínio, sinal, limites, assíntotas, máximos e mínimos, concavidade e gráfico, tudo de uma vez.

Domínio de uma função

As condições de existência e o domínio escrito como união de intervalos.

Assíntotas

Assíntotas verticais, horizontais e oblíquas, com os limites que as comprovam.

Derivadas

A derivada de uma função e as regras usadas para chegar a ela.