Rozkład wielomianu na czynniki online, krok po kroku

Jak rozłożyć wielomian na czynniki

Rozłożyć wielomian na czynniki to zapisać go jako iloczyn wielomianów niższego stopnia. Kolejność zawsze jest ta sama: najpierw wyłączenie wspólnego czynnika, potem wzory skróconego mnożenia, następnie szukanie pierwiastków i dzielenie schematem Hornera, na końcu trójmiany kwadratowe.

Schemat Hornera opiera się na twierdzeniu Bézouta: jeśli liczba a zeruje wielomian, to (x − a) jest jego czynnikiem. Możliwe pierwiastki wymierne to ułamki, których licznik dzieli wyraz wolny, a mianownik współczynnik przy najwyższej potędze. Dla 2x⁴ − 2x³ − 14x² + 2x + 12, po wyłączeniu 2, pierwiastki −2, −1, 1 i 3 dają 2(x + 2)(x + 1)(x − 1)(x − 3).

Gdy zostaje trójmian ax² + bx + c, decyduje wyróżnik Δ = b² − 4ac: jeśli jest kwadratem liczby całkowitej, pierwiastki są wymierne; jeśli jest dodatni, ale nie jest kwadratem, trójmian rozkłada się tylko nad ℝ, z pierwiastkami niewymiernymi; jeśli jest ujemny, trójmian jest nierozkładalny. Niektóre wielomiany bez pierwiastków i tak rozkładają się na dwa trójmiany, np. x⁴ + 4 = (x² − 2x + 2)(x² + 2x + 2).

Częste błędy

Pominięcie wyłączenia wspólnego czynnika na początku: utrudnia to wszystkie kolejne kroki.
Mylenie (x − a) z (x + a): jeśli pierwiastkiem jest 3, czynnik to (x − 3).
Uznawanie x² + 1 za nierozkładalny także nad ℂ: nad ℝ jest, nad ℂ to (x + i)(x − i).

Najczęstsze pytania

Jak znaleźć pierwiastki do sprawdzenia?

Dzielniki wyrazu wolnego dzieli się przez dzielniki współczynnika przy najwyższej potędze, z oboma znakami. Dla 6x² − x − 2: ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6. Tu pasują −1/2 i 2/3.

Czy każdy wielomian da się rozłożyć?

Nad ℂ zawsze, na czynniki liniowe: to zasadnicze twierdzenie algebry. Nad ℝ zawsze na czynniki pierwszego i drugiego stopnia. Nad ℚ natomiast wiele wielomianów, np. x² − 2, jest nierozkładalnych.

Czym różni się pierwiastek od czynnika?

To dwie strony tego samego: a jest pierwiastkiem wielomianu wtedy i tylko wtedy, gdy (x − a) jest jego czynnikiem.

Jak działa to obliczenie

Wspólny czynnik: dzielenie przez NWD współczynników. Twierdzenie Bézouta: P(a) = 0 ⇔ (x − a) dzieli P(x). Możliwe pierwiastki wymierne: p/q, gdzie p dzieli wyraz wolny, a q współczynnik wiodący. Trójmian ax² + bx + c: Δ = b² − 4ac, pierwiastki x = (−b ± √Δ) / 2a oraz ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). Stopień 4: (a₁x² + b₁x + c₁)(a₂x² + b₂x + c₂) o współczynnikach całkowitych, przez porównanie współczynników.

Liczby zespolone

Działania, postać algebraiczna, trygonometryczna i wykładnicza, potęgi i pierwiastki n-tego stopnia, z płaszczyzną zespoloną.

Równania pierwszego i drugiego stopnia

Pierwiastki, wyróżnik, wierzchołek i postać iloczynowa równania ax² + bx + c = 0.

Równania różniczkowe

Liniowe równania różniczkowe pierwszego i drugiego rzędu o stałych współczynnikach, z rozwiązaniem i wykresem.

Schemat Hornera

Dzieli wielomian przez (x − a) i rozkłada go na czynniki.