Matematyka
Obliczanie NWD i NWW
Wpisz liczby oddzielone przecinkami: otrzymasz największy wspólny dzielnik i najmniejszą wspólną wielokrotność wraz z rozkładem na czynniki pierwsze, z którego się je odczytuje — czyli z krokiem, który zadanie każe pokazać.
Czym są NWD i NWW i kiedy się przydają
Największy wspólny dzielnik to największa liczba dzieląca bez reszty wszystkie podane; najmniejsza wspólna wielokrotność to najmniejsza liczba zawierająca je wszystkie całkowitą liczbę razy. To dwie strony tego samego rozkładu: gdy każda liczba jest zapisana jako iloczyn potęg liczb pierwszych, NWD bierze wspólne czynniki z mniejszym wykładnikiem, a NWW wszystkie czynniki z większym.
Przydają się w różnych sytuacjach. NWD odpowiada na pytania o podział: jaka największa kwadratowa płytka wypełni dokładnie pokój 120 × 90 cm, na ile równych grup da się podzielić klasę. NWW odpowiada na pytania o zgranie w czasie: za ile dni zbiegną się dwie zmiany powtarzające się co 6 i co 8 dni, jaki wspólny mianownik pozwoli dodać dwa ułamki.
Dla tylko dwóch liczb algorytm Euklidesa jest szybszy od rozkładu i nie wymaga znajdowania czynników pierwszych: dzieli się większą przez mniejszą, potem dzielnik przez resztę i tak dalej, aż reszta się wyzeruje. Ostatni niezerowy dzielnik to NWD. NWW otrzymuje się zaraz potem, bo dla dwóch liczb zawsze zachodzi NWD × NWW = a × b.
Częste błędy
- Zamiana reguł wykładników: w NWD bierze się wspólne czynniki z najmniejszym wykładnikiem, w NWW wszystkie czynniki z największym. Odwrócenie daje dwie wiarygodne i błędne liczby.
- Pominięcie czynników niewspólnych w NWW: jeśli jedna liczba zawiera liczbę pierwszą, której pozostałe nie mają, ta liczba pierwsza i tak wchodzi do najmniejszej wspólnej wielokrotności.
- Stosowanie zależności NWD × NWW = a × b dla więcej niż dwóch liczb: obowiązuje tylko dla pary. Przy trzech liczbach iloczyn obu wyników nie ma stałego związku z iloczynem danych.
Najczęstsze pytania
Jak obliczyć NWD za pomocą rozkładu na czynniki pierwsze?
Rozkłada się każdą liczbę na czynniki pierwsze, wskazuje liczby pierwsze obecne we wszystkich rozkładach i mnoży je, biorąc dla każdej najniższy wykładnik. Dla 12 = 2²·3 i 18 = 2·3² wspólne czynniki to 2 i 3 z wykładnikami minimalnymi 1 i 1: NWD wynosi 6.
A najmniejsza wspólna wielokrotność?
Bierze się wszystkie liczby pierwsze występujące w co najmniej jednym rozkładzie, każdą z najwyższym wykładnikiem. Dla 12 = 2²·3 i 18 = 2·3² bierzemy 2² i 3², więc NWW wynosi 36.
Co znaczy, że dwie liczby są względnie pierwsze?
Że ich NWD wynosi 1, czyli nie mają wspólnych czynników pierwszych. Nie znaczy to, że są liczbami pierwszymi: 8 i 9 są względnie pierwsze, choć obie są złożone. W takim przypadku NWW równa się iloczynowi.
Do czego służy NWW przy ułamkach?
To najmniejszy wspólny mianownik, przy którym można dodać lub porównać dwa ułamki. Iloczyn mianowników zawsze działa, ale daje większe liczby, które trzeba potem skrócić.
Jak działa to obliczenie
Rozkład: każda liczba całkowita większa od 1 zapisuje się jednoznacznie jako iloczyn potęg liczb pierwszych (podstawowe twierdzenie arytmetyki). NWD: iloczyn liczb pierwszych wspólnych dla wszystkich rozkładów, każda z wykładnikiem minimalnym. NWW: iloczyn wszystkich występujących liczb pierwszych, każda z wykładnikiem maksymalnym. Algorytm Euklidesa: NWD(a; b) = NWD(b; a mod b), powtarzany aż do reszty zero. Zależność między nimi, ważna dla pary: NWD(a; b) × NWW(a; b) = a × b. Dla większej liczby składników NWW buduje się parami: NWW(a; b; c) = NWW(NWW(a; b); c).
Powiązane kalkulatory
Procenty
Procent z całości, podwyżki, rabaty, zmiana procentowa i wyliczenie kwoty wyjściowej.
Ułamki
Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie ułamków, ze skróceniem do postaci nieskracalnej.
Proporcje
Niewiadomy wyraz, czwarta proporcjonalna, średnia geometryczna i trzecia proporcjonalna.
Rozkład na czynniki pierwsze
Czynniki pierwsze liczby do 30 cyfr, z rozkładem w słupku, dzielnikami i testem pierwszości.