Calculadora de MDC e MMC com fatoração em primos

O que são MDC e MMC, e quando você precisa deles

O máximo divisor comum é o maior número que divide exatamente todos os dados; o mínimo múltiplo comum é o menor número que contém todos eles um número inteiro de vezes. São duas faces da mesma fatoração: depois de escrever cada número como produto de potências de primos, o MDC fica com os fatores comuns com o menor expoente e o MMC com todos os fatores com o maior expoente.

Eles respondem a perguntas diferentes. O MDC trata de divisão: qual o maior piso quadrado que cobre exatamente um cômodo de 120 × 90 cm, em quantos grupos iguais uma turma pode ser dividida. O MMC trata de sincronização: em quantos dias dois turnos que se repetem a cada 6 e a cada 8 dias coincidem, que denominador comum permite somar duas frações.

Para só dois números o algoritmo de Euclides é mais rápido que fatorar, e não exige encontrar nenhum primo: divide-se o maior pelo menor, depois o divisor pelo resto, e assim por diante até o resto se anular. O último divisor não nulo é o MDC. O MMC vem na hora, porque para dois números sempre vale MDC × MMC = a × b.

Erros frequentes

Trocar as regras dos expoentes: o MDC fica com os fatores comuns com o menor expoente, o MMC com todos os fatores com o maior. Invertê-las dá dois números plausíveis e errados.
Deixar de fora do MMC os fatores não comuns: se um número contém um primo que os outros não têm, esse primo ainda entra no mínimo múltiplo comum.
Usar MDC × MMC = a × b com mais de dois números: só vale para um par. Com três números o produto dos dois resultados não tem relação fixa com o produto dos dados.

Perguntas frequentes

Como se encontra o MDC pela fatoração em primos?

Fatore cada número, encontre os primos presentes em todas as fatorações e multiplique-os tomando para cada um o menor expoente. Para 12 = 2²·3 e 18 = 2·3² os fatores comuns são 2 e 3 com expoentes mínimos 1 e 1, então o MDC é 6.

E o mínimo múltiplo comum?

Tome cada primo que aparece em pelo menos uma fatoração, cada um com o maior expoente que atinge. Para 12 = 2²·3 e 18 = 2·3² você toma 2² e 3², então o MMC é 36.

O que significa dois números serem primos entre si?

Que o MDC deles é 1, então não compartilham nenhum fator primo. Não significa que sejam números primos: 8 e 9 são primos entre si, embora ambos sejam compostos. Nesse caso o MMC é igual ao produto.

Para que serve o MMC nas frações?

É o menor denominador comum para somar ou comparar duas frações. Usar o produto dos denominadores sempre funciona, mas produz números maiores para simplificar depois.

Como funciona este cálculo

Fatoração: todo inteiro maior que 1 pode ser escrito de forma única como produto de potências de primos (teorema fundamental da aritmética). MDC: o produto dos primos comuns a todas as fatorações, cada um com o expoente mínimo. MMC: o produto de todos os primos que aparecem, cada um com o expoente máximo. Algoritmo de Euclides: MDC(a; b) = MDC(b; a mod b), repetido até o resto ser zero. Relação entre os dois, válida para um par: MDC(a; b) × MMC(a; b) = a × b. Para mais números o MMC é construído aos pares: MMC(a; b; c) = MMC(MMC(a; b); c).

Porcentagens

Porcentagem de um total, aumentos, descontos, variação percentual e porcentagem inversa.

Frações

Soma, subtração, multiplicação e divisão de frações, simplificadas ao máximo.

Proporções

Termo desconhecido, quarta proporcional, média geométrica e terceira proporcional.

Decomposição em fatores primos

Fatores primos de um número de até 30 dígitos, com a divisão em coluna, os divisores e o teste de primalidade.