ggT und kgV berechnen mit Primfaktorzerlegung

Was ggT und kgV sind und wozu sie dienen

Der größte gemeinsame Teiler ist die größte Zahl, die alle gegebenen Zahlen ohne Rest teilt; das kleinste gemeinsame Vielfache ist die kleinste Zahl, die sie alle ganzzahlig enthält. Sie sind zwei Seiten derselben Zerlegung: Sobald jede Zahl als Produkt von Primzahlpotenzen geschrieben ist, nimmt der ggT die gemeinsamen Faktoren mit dem kleineren Exponenten und das kgV alle Faktoren mit dem größeren.

Sie werden in unterschiedlichen Situationen gebraucht. Der ggT beantwortet Aufteilungsfragen: Welche größte quadratische Fliese füllt einen Raum von 120 × 90 cm genau aus, in wie viele gleiche Gruppen lässt sich eine Klasse teilen. Das kgV beantwortet Fragen der Gleichzeitigkeit: In wie vielen Tagen fallen zwei Schichten zusammen, die sich alle 6 und alle 8 Tage wiederholen, welcher gemeinsame Nenner erlaubt die Addition zweier Brüche.

Für nur zwei Zahlen ist der euklidische Algorithmus schneller als die Zerlegung und verlangt keine Primfaktoren: Man teilt die größere durch die kleinere Zahl, dann den Divisor durch den Rest und so fort, bis der Rest verschwindet. Der letzte Divisor ungleich null ist der ggT. Das kgV folgt unmittelbar, denn für zwei Zahlen gilt stets ggT × kgV = a × b.

Häufige Fehler

Die Exponentenregeln vertauschen: Beim ggT nimmt man die gemeinsamen Faktoren mit dem kleinsten Exponenten, beim kgV alle Faktoren mit dem größten. Vertauscht ergibt das zwei plausible und falsche Zahlen.
Die nicht gemeinsamen Faktoren beim kgV weglassen: Enthält eine Zahl eine Primzahl, die den anderen fehlt, gehört diese trotzdem ins kleinste gemeinsame Vielfache.
Die Beziehung ggT × kgV = a × b bei mehr als zwei Zahlen verwenden: Sie gilt nur für ein Paar. Bei drei Zahlen steht das Produkt der beiden Ergebnisse in keinem festen Verhältnis zum Produkt der Eingaben.

Häufige Fragen

Wie berechnet man den ggT mit der Primfaktorzerlegung?

Man zerlegt jede Zahl in Primfaktoren, sucht die in allen Zerlegungen vorkommenden Primzahlen und multipliziert sie, jeweils mit dem niedrigsten Exponenten. Für 12 = 2²·3 und 18 = 2·3² sind die gemeinsamen Faktoren 2 und 3 mit den Mindestexponenten 1 und 1: Der ggT ist 6.

Und das kleinste gemeinsame Vielfache?

Man nimmt alle Primzahlen, die in mindestens einer Zerlegung vorkommen, jeweils mit dem höchsten Exponenten. Für 12 = 2²·3 und 18 = 2·3² nimmt man 2² und 3², das kgV ist also 36.

Was heißt es, dass zwei Zahlen teilerfremd sind?

Dass ihr ggT 1 ist, sie also keine gemeinsamen Primfaktoren haben. Das heißt nicht, dass sie Primzahlen sind: 8 und 9 sind teilerfremd, obwohl beide zusammengesetzt sind. In diesem Fall stimmt das kgV mit dem Produkt überein.

Wozu dient das kgV bei Brüchen?

Es ist der kleinste gemeinsame Nenner, mit dem sich zwei Brüche addieren oder vergleichen lassen. Das Produkt der Nenner funktioniert immer, liefert aber größere Zahlen, die man anschließend kürzen muss.

Wie diese Berechnung funktioniert

Zerlegung: Jede ganze Zahl größer als 1 lässt sich eindeutig als Produkt von Primzahlpotenzen schreiben (Fundamentalsatz der Arithmetik). ggT: Produkt der allen Zerlegungen gemeinsamen Primzahlen, jeweils mit dem kleinsten Exponenten. kgV: Produkt aller vorkommenden Primzahlen, jeweils mit dem größten Exponenten. Euklidischer Algorithmus: ggT(a; b) = ggT(b; a mod b), wiederholt bis der Rest null ist. Beziehung zwischen beiden, gültig für ein Paar: ggT(a; b) × kgV(a; b) = a × b. Bei mehreren Zahlen wird das kgV paarweise gebildet: kgV(a; b; c) = kgV(kgV(a; b); c).

Prozentrechnung

Prozent von einem Gesamtwert, Aufschläge, Rabatte, prozentuale Veränderung und Rückrechnung.

Bruchrechnen

Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division von Brüchen, vollständig gekürzt.

Verhältnisgleichungen

Fehlendes Glied, vierte Proportionale, geometrisches Mittel und dritte Proportionale.

Primfaktorzerlegung

Primfaktoren einer Zahl mit bis zu 30 Stellen, mit Divisionsleiter, Teilern und Primzahltest.