Matematyka
Kalkulator proporcji
Wybierz brakujący wyraz, podaj pozostałe trzy i otrzymaj niewiadomą wraz ze sprawdzeniem: iloczyn wyrazów środkowych musi być równy iloczynowi skrajnych.
Jak rozwiązać proporcję
Proporcja to równość dwóch stosunków: a : b = c : d czyta się „a ma się do b tak, jak c do d". Pierwszy i ostatni wyraz nazywa się skrajnymi, dwa środkowe — środkowymi. Własność podstawowa mówi, że iloczyn wyrazów środkowych równa się iloczynowi skrajnych, czyli a·d = b·c, i z tej jednej równości wynika każdy brakujący wyraz: wystarczy go wyznaczyć, dzieląc przez towarzyszący mu czynnik.
Średnia geometryczna to przypadek, w którym niewiadoma występuje dwa razy, jak w a : x = x : b. Własność podstawowa daje x² = a·b, czyli x = √(a·b): to średnia geometryczna obu wyrazów skrajnych, a nie średnia arytmetyczna. Różnica nie jest formalna — między 4 a 9 średnia arytmetyczna wynosi 6,5, a geometryczna 6 — i to dlatego średnia geometryczna pojawia się w twierdzeniach Euklidesa i przy stopach wzrostu.
Proporcje są narzędziem do zadań o proporcjonalności prostej: przeliczanie przepisów, mapy i skale, procenty, przeliczanie walut, dawkowanie. Reguła praktyczna jest zawsze ta sama: zapisać obie wielkości w tej samej kolejności w obu stosunkach i upewnić się, że są wyrażone w tej samej jednostce.
Częste błędy
- Odwrócenie kolejności w jednym ze stosunków: jeśli pierwszy to „kilometry do godzin", drugi też musi taki być. Zapis „godziny do kilometrów" w drugim stosunku daje odwrotność poprawnego wyniku.
- Mieszanie różnych jednostek: 30 minut i 2 godziny trzeba sprowadzić do tej samej jednostki przed wstawieniem do proporcji, inaczej stosunek nie ma sensu.
- Mylenie średniej geometrycznej ze średnią arytmetyczną: pierwsza to pierwiastek z iloczynu, druga to połowa sumy. Pokrywają się tylko wtedy, gdy obie liczby są równe.
Najczęstsze pytania
Jak znaleźć niewiadomy wyraz proporcji?
Za pomocą własności podstawowej: iloczyn wyrazów środkowych równa się iloczynowi skrajnych. Niewiadomy wyraz skrajny otrzymuje się, mnożąc oba środkowe i dzieląc przez drugi skrajny; niewiadomy środkowy — mnożąc oba skrajne i dzieląc przez drugi środkowy.
Czym jest czwarta proporcjonalna?
To czwarty wyraz proporcji, której trzy pierwsze są znane: w a : b = c : x mamy x = (b·c)/a. W tej postaci występuje większość zadań o proporcjonalności prostej.
Czym jest średnia geometryczna w proporcji?
To wartość zajmująca jednocześnie miejsce drugiego i trzeciego wyrazu, jak w a : x = x : b. Wynosi x = √(a·b). W liczbach rzeczywistych istnieje tylko wtedy, gdy iloczyn a·b nie jest ujemny.
Czy wyraz proporcji może być zerem?
Nie. Gdyby wyraz był zerem, odpowiadający iloczyn też by nim był, a proporcja albo staje się niemożliwa, albo traci sens, bo jeden ze stosunków przestałby być określony.
Jak działa to obliczenie
Proporcja: a : b = c : d, czyli a/b = c/d. Własność podstawowa: a·d = b·c, iloczyn wyrazów skrajnych równa się iloczynowi środkowych. Niewiadomy wyraz: a = (b·c)/d, b = (a·d)/c, c = (a·d)/b, d = (b·c)/a. Średnia geometryczna z a : x = x : b: x² = a·b, czyli x = √(a·b) (przyjmuje się pierwiastek dodatni; ujemny spełnia równanie, ale nie interpretację geometryczną). Trzecia proporcjonalna z a : b = b : x: x = b²/a. Własność dodawania: (a+b) : b = (c+d) : d. Własność odejmowania: (a−b) : b = (c−d) : d.
Powiązane kalkulatory
Procenty
Procent z całości, podwyżki, rabaty, zmiana procentowa i wyliczenie kwoty wyjściowej.
Ułamki
Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie ułamków, ze skróceniem do postaci nieskracalnej.
NWD i NWW
Największy wspólny dzielnik i najmniejsza wspólna wielokrotność z rozkładem na czynniki pierwsze.
Przelicznik jednostek miar
Dziesięć kategorii jednostek, od długości po ciśnienie, z pełną tabelą przeliczeń.