Calcular MCD y mcm online con descomposición en factores primos

Qué son el MCD y el mcm, y cuándo sirven

El máximo común divisor es el número más grande que divide exactamente a todos los dados; el mínimo común múltiplo es el número más pequeño que los contiene a todos un número entero de veces. Son dos caras de la misma descomposición: una vez que cada número está escrito como producto de potencias de primos, el MCD toma los factores comunes con el exponente menor y el mcm toma todos los factores con el exponente mayor.

Sirven en situaciones distintas. El MCD responde a las preguntas de reparto: cuál es la baldosa cuadrada más grande que llena exactamente una habitación de 120 × 90 cm, en cuántos grupos iguales se puede dividir una clase. El mcm responde a las preguntas de sincronización: dentro de cuántos días coinciden dos turnos que se repiten cada 6 y cada 8 días, cuál es el denominador común para sumar dos fracciones.

Para solo dos números el algoritmo de Euclides es más rápido que la descomposición y no exige hallar los factores primos: se divide el mayor entre el menor, luego el divisor entre el resto, y así hasta que el resto se anula. El último divisor distinto de cero es el MCD. El mcm se obtiene justo después, porque para dos números siempre se cumple MCD × mcm = a × b.

Errores frecuentes

Intercambiar las reglas de los exponentes: en el MCD se toman los factores comunes con el exponente más pequeño, en el mcm todos los factores con el exponente más grande. Invertirlas da dos números plausibles y erróneos.
Olvidar los factores no comunes en el mcm: si un número contiene un primo que los demás no tienen, ese primo entra igualmente en el mínimo común múltiplo.
Usar la relación MCD × mcm = a × b con más de dos números: solo vale para una pareja. Con tres números el producto de los dos resultados no guarda ninguna relación fija con el producto de los datos.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula el MCD con la descomposición en factores primos?

Se descompone cada número en factores primos, se identifican los primos presentes en todas las descomposiciones y se multiplican tomando para cada uno el exponente más bajo. Para 12 = 2²·3 y 18 = 2·3² los factores comunes son 2 y 3, con exponentes mínimos 1 y 1: el MCD es 6.

¿Y el mínimo común múltiplo?

Se toman todos los primos que aparecen en al menos una descomposición, cada uno con el exponente más alto con el que aparece. Para 12 = 2²·3 y 18 = 2·3² se toma 2² y 3², así que el mcm es 36.

¿Qué quiere decir que dos números son primos entre sí?

Que su MCD es 1, es decir, que no tienen factores primos en común. No significa que sean números primos: 8 y 9 son primos entre sí aunque ambos sean compuestos. En ese caso el mcm coincide con el producto.

¿Para qué sirve el mcm en las fracciones?

Es el denominador común más pequeño con el que se pueden sumar o comparar dos fracciones. Usar el producto de los denominadores siempre funciona, pero produce números más grandes que hay que simplificar después.

Cómo funciona este cálculo

Descomposición: todo entero mayor que 1 se escribe de manera única como producto de potencias de primos (teorema fundamental de la aritmética). MCD: producto de los primos comunes a todas las descomposiciones, cada uno con el exponente mínimo. mcm: producto de todos los primos que aparecen, cada uno con el exponente máximo. Algoritmo de Euclides: MCD(a; b) = MCD(b; a mod b), repetido hasta que el resto sea cero. Relación entre ambos, válida para una pareja: MCD(a; b) × mcm(a; b) = a × b. Para más números el mcm se construye por parejas: mcm(a; b; c) = mcm(mcm(a; b); c).

Porcentajes

Porcentaje de un total, aumentos, descuentos, variación porcentual y cálculo inverso.

Fracciones

Suma, resta, producto y cociente de fracciones, simplificadas a su mínima expresión.

Proporciones

Término desconocido, cuarta proporcional, media y tercera proporcional.

Descomposición en factores primos

Factores primos de un número de hasta 30 cifras, con la división en columna, los divisores y el test de primalidad.