Mathématiques
Calcul du PGCD et du PPCM
Écrivez les nombres séparés par des virgules : vous obtenez le plus grand commun diviseur et le plus petit commun multiple, avec la décomposition en facteurs premiers dont ils se lisent — l'étape que l'exercice demande de montrer.
Ce que sont le PGCD et le PPCM, et à quoi ils servent
Le plus grand commun diviseur est le plus grand nombre qui divise exactement tous les nombres donnés ; le plus petit commun multiple est le plus petit nombre qui les contient tous un nombre entier de fois. Ce sont deux faces de la même décomposition : une fois chaque nombre écrit comme produit de puissances de nombres premiers, le PGCD prend les facteurs communs avec le plus petit exposant et le PPCM prend tous les facteurs avec le plus grand.
Ils servent dans des situations différentes. Le PGCD répond aux questions de partage : quel est le plus grand carreau carré qui remplit exactement une pièce de 120 × 90 cm, en combien de groupes égaux peut-on diviser une classe. Le PPCM répond aux questions de synchronisation : dans combien de jours deux équipes qui se relaient tous les 6 et tous les 8 jours coïncideront-elles, quel dénominateur commun permet d'additionner deux fractions.
Pour deux nombres seulement, l'algorithme d'Euclide est plus rapide que la décomposition et ne demande pas de trouver les facteurs premiers : on divise le plus grand par le plus petit, puis le diviseur par le reste, et ainsi de suite jusqu'à ce que le reste s'annule. Le dernier diviseur non nul est le PGCD. Le PPCM s'obtient aussitôt après, car pour deux nombres on a toujours PGCD × PPCM = a × b.
Erreurs fréquentes
- Intervertir les règles des exposants : pour le PGCD on prend les facteurs communs avec le plus petit exposant, pour le PPCM tous les facteurs avec le plus grand. Les inverser donne deux nombres plausibles et faux.
- Oublier les facteurs non communs dans le PPCM : si un nombre contient un facteur premier que les autres n'ont pas, ce facteur entre tout de même dans le plus petit commun multiple.
- Utiliser la relation PGCD × PPCM = a × b avec plus de deux nombres : elle ne vaut que pour une paire. Avec trois nombres, le produit des deux résultats n'a aucun rapport fixe avec le produit des données.
Questions fréquentes
Comment calculer le PGCD avec la décomposition en facteurs premiers ?
On décompose chaque nombre en facteurs premiers, on repère les nombres premiers présents dans toutes les décompositions et on les multiplie en prenant pour chacun le plus petit exposant. Pour 12 = 2²·3 et 18 = 2·3², les facteurs communs sont 2 et 3, avec les exposants minimaux 1 et 1 : le PGCD vaut 6.
Et le plus petit commun multiple ?
On prend tous les nombres premiers figurant dans au moins une décomposition, chacun avec le plus grand exposant atteint. Pour 12 = 2²·3 et 18 = 2·3², on prend 2² et 3², donc le PPCM vaut 36.
Que veut dire que deux nombres sont premiers entre eux ?
Que leur PGCD vaut 1, c'est-à-dire qu'ils n'ont aucun facteur premier commun. Cela ne signifie pas qu'ils soient des nombres premiers : 8 et 9 sont premiers entre eux bien que tous deux composés. Dans ce cas, le PPCM coïncide avec le produit.
À quoi sert le PPCM dans les fractions ?
C'est le plus petit dénominateur commun permettant d'additionner ou de comparer deux fractions. Utiliser le produit des dénominateurs fonctionne toujours, mais produit des nombres plus grands à simplifier ensuite.
Comment fonctionne ce calcul
Décomposition : tout entier supérieur à 1 s'écrit de manière unique comme produit de puissances de nombres premiers (théorème fondamental de l'arithmétique). PGCD : produit des nombres premiers communs à toutes les décompositions, chacun avec l'exposant minimal. PPCM : produit de tous les nombres premiers présents, chacun avec l'exposant maximal. Algorithme d'Euclide : PGCD(a ; b) = PGCD(b ; a mod b), répété jusqu'à un reste nul. Relation entre les deux, valable pour une paire : PGCD(a ; b) × PPCM(a ; b) = a × b. Pour plusieurs nombres, le PPCM se construit deux à deux : PPCM(a ; b ; c) = PPCM(PPCM(a ; b) ; c).
Calculs liés
Pourcentages
Pourcentage d'un total, hausses, remises, variation en pourcentage et calcul inverse.
Fractions
Addition, soustraction, multiplication et division de fractions, réduites à leur plus simple expression.
Proportions
Terme inconnu, quatrième proportionnelle, moyenne et troisième proportionnelle.
Décomposition en facteurs premiers
Facteurs premiers d'un nombre jusqu'à 30 chiffres, avec la division en colonne, les diviseurs et un test de primalité.