Mathematik
Rechner für das Horner-Schema
Gib die Koeffizienten des Polynoms und einen Wert für a ein: du erhältst die Tabelle der Division durch (x − a), den Quotienten, den Rest und die vollständige Faktorisierung mit jeder rationalen Nullstelle und ihrer Vielfachheit.
Wozu das Horner-Schema dient
Das Horner-Schema – die Regel von Ruffini – ist ein schneller Weg, ein Polynom durch ein Binom der Form (x − a) zu teilen: den ersten Koeffizienten herunterschreiben, mit a multiplizieren, zum nächsten addieren und so bis zum Ende. Die Zahlen der unteren Zeile sind die Koeffizienten des Quotienten, die letzte ist der Rest. Es braucht weniger Platz als die schriftliche Division, weil nur mit den Koeffizienten gearbeitet wird, ohne die Potenzen von x jedes Mal neu zu schreiben.
Diese letzte Zahl ist mehr als ein Rest: nach dem Restsatz ist sie der Wert des Polynoms an der Stelle a. Kommt null heraus, ist a eine Nullstelle, (x − a) ein Faktor, und der Quotient ist das, was noch zu faktorisieren bleibt – einen Grad niedriger und damit leichter. Wiederholt man das Verfahren am Quotienten, kommt man zur vollständigen Faktorisierung; deshalb werden Division und Faktorisieren zusammen gelehrt.
Bleibt die Frage, welche a zu probieren sind, und hier greift der Satz über rationale Nullstellen: hat das Polynom ganzzahlige Koeffizienten, so teilt bei jeder rationalen Nullstelle p/q der Zähler p das Absolutglied und der Nenner q den Leitkoeffizienten. Die Kandidaten sind also endlich viele und lassen sich alle durchprobieren. Was durchfällt, ist keine rationale Nullstelle, und dieser Rechner sagt das, statt einen Näherungswert zurückzugeben: ein Polynom wie x² − 2 hat reelle Nullstellen, aber keine rationale, und mit dem Horner-Schema lässt es sich nicht faktorisieren.
Häufige Fehler
- Das Vorzeichen von a verwechseln. Geteilt wird durch (x − a), für die Division durch (x + 3) ist also −3 einzugeben. Das ist der häufigste Fehler, und ein großer Rest dort, wo null erwartet wurde, verrät ihn.
- Die Nullkoeffizienten weglassen. In x³ − 4x ist der Koeffizient von x² null und muss eingetragen werden: lässt man ihn aus, rutschen alle übrigen um eine Stelle und das Ergebnis hat mit dem Ausgangspolynom nichts mehr zu tun.
- Nur ganze Zahlen probieren. Bei einem Leitkoeffizienten ungleich 1 können die rationalen Nullstellen Brüche sein: 2x² − 3x + 1 verschwindet bei 1/2, was keine Suche allein unter den ganzen Zahlen findet.
Häufige Fragen
Wie funktioniert das Horner-Schema Schritt für Schritt?
Die Koeffizienten werden vom höchsten Grad bis zum Absolutglied geschrieben, Nullen eingeschlossen. Den ersten schreibt man herunter, multipliziert ihn mit a und addiert zum zweiten; das Ergebnis multipliziert man mit a und addiert zum dritten, und so fort. Alle Zahlen außer der letzten sind die Koeffizienten des Quotienten, die letzte ist der Rest.
Wann ist ein Polynom durch (x − a) teilbar?
Wenn der Rest null ist, also wenn P(a) = 0 gilt. Das ist der Faktorsatz, eine unmittelbare Folge des Restsatzes: die Division durch (x − a) lässt genau den Wert des Polynoms an der Stelle a als Rest.
Woher weiß man, welche Nullstellen zu probieren sind?
Aus dem Satz über rationale Nullstellen: bei ganzzahligen Koeffizienten ist jede rationale Nullstelle p/q, wobei p das Absolutglied und q den Leitkoeffizienten teilt. Alle Kandidaten werden mit beiden Vorzeichen geprüft. Dieser Rechner erledigt das automatisch.
Was bedeutet es, dass eine Nullstelle die Vielfachheit zwei hat?
Dass der Faktor (x − a) zweimal in der Faktorisierung auftritt, der Quotient nach einmaligem Herausdividieren also weiterhin bei a verschwindet. So ist x³ − 6x² + 12x − 8 gleich (x − 2)³: die Nullstelle 2 hat die Vielfachheit drei.
Kann man damit durch (2x − 1) dividieren?
Nicht unmittelbar: die Regel gilt für normierte Divisoren der Form (x − a). Man klammert aber die 2 aus, schreibt 2x − 1 = 2(x − 1/2), dividiert durch (x − 1/2) und teilt danach den Quotienten durch 2. Dieser Rechner nimmt gebrochene Werte für a, du kannst also gleich 0,5 eingeben.
Wie diese Berechnung funktioniert
Division durch (x − a): zu den Koeffizienten aₙ, aₙ₋₁, …, a₀ setzt man bₙ₋₁ = aₙ und dann b₍ₖ₋₁₎ = aₖ + a·bₖ bis hinab zum Absolutglied. Die b sind die Koeffizienten des Quotienten, der zuletzt berechnete Wert ist der Rest R, mit P(x) = (x − a)·Q(x) + R. Restsatz: R = P(a). Faktorsatz: (x − a) teilt P genau dann, wenn P(a) = 0. Satz über rationale Nullstellen: hat P ganzzahlige Koeffizienten, so teilt bei jeder vollständig gekürzten rationalen Nullstelle p/q der Zähler p das Absolutglied a₀ und der Nenner q den Leitkoeffizienten aₙ; die Suche prüft alle diese Kandidaten mit beiden Vorzeichen und wiederholt die Division bei jedem, solange der Rest null bleibt, was die Vielfachheit ergibt. Die Null gehört nicht zu diesen Kandidaten, da sie kein Absolutglied teilt, und wird gesondert behandelt: sie ist Nullstelle, wenn a₀ = 0. Alle Rechnungen laufen über Brüche ganzer Zahlen statt über Gleitkommazahlen, weil der Rest exakt mit null verglichen werden muss.
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