Matemáticas
Calculadora de la regla de Ruffini
Introduce los coeficientes del polinomio y el valor de a: obtienes la tabla de la división entre (x − a), el cociente, el resto y la factorización completa con todas las raíces racionales y su multiplicidad.
Para qué sirve la regla de Ruffini
La regla de Ruffini es una forma rápida de dividir un polinomio entre un binomio de la forma (x − a): se baja el primer coeficiente, se multiplica por a, se suma al siguiente y se repite hasta el final. Los números de la fila inferior son los coeficientes del cociente, y el último es el resto. Ocupa menos que la división en columna porque solo se escriben los coeficientes, sin reescribir cada vez las potencias de x.
Ese último número no es solo el resto: por el teorema del resto es el valor del polinomio en a. Si sale cero, a es una raíz y (x − a) es un factor, y el cociente es el polinomio que queda por factorizar —de un grado menos, y por tanto más fácil—. Repitiendo el procedimiento sobre el cociente se llega a la factorización completa, y por eso Ruffini y factorización se estudian juntos.
Falta saber qué valores de a probar, y ahí entra el teorema de las raíces racionales: si el polinomio tiene coeficientes enteros, toda raíz racional p/q tiene p divisor del término independiente y q divisor del coeficiente principal. Los candidatos son finitos y se prueban todos. Lo que no pasa la prueba no es raíz racional, y esta calculadora lo dice en lugar de devolver un valor aproximado: un polinomio como x² − 2 tiene raíces reales, pero ninguna racional, y con Ruffini no se factoriza.
Errores frecuentes
- Equivocar el signo de a. Se divide entre (x − a), así que para dividir entre (x + 3) el valor a introducir es −3. Es el fallo más común, y se reconoce por un resto grande donde se esperaba cero.
- Olvidar los coeficientes nulos. En x³ − 4x el coeficiente de x² es cero y hay que introducirlo: saltárselo desplaza todos los demás un lugar y el resultado ya no tiene nada que ver con el polinomio de partida.
- Probar solo con números enteros. Con un coeficiente principal distinto de 1 las raíces racionales pueden ser fracciones: 2x² − 3x + 1 se anula en 1/2, que ninguna prueba con enteros encontraría.
Preguntas frecuentes
¿Cómo funciona la regla de Ruffini paso a paso?
Se escriben los coeficientes del grado más alto al término independiente, ceros incluidos. Se baja el primero, se multiplica por a y se suma al segundo; el resultado se multiplica por a y se suma al tercero, y así sucesivamente. Todos los números menos el último son los coeficientes del cociente; el último es el resto.
¿Cuándo es un polinomio divisible entre (x − a)?
Cuando el resto de la división es cero, es decir, cuando P(a) = 0. Es el teorema del factor, consecuencia directa del teorema del resto: dividir entre (x − a) deja como resto justamente el valor del polinomio en a.
¿Cómo se sabe qué raíces probar?
Con el teorema de las raíces racionales: con coeficientes enteros, toda raíz racional es p/q donde p divide al término independiente y q al coeficiente principal. Se prueban todos los candidatos, con ambos signos. Esta calculadora lo hace automáticamente.
¿Qué significa que una raíz tenga multiplicidad dos?
Que el factor (x − a) aparece dos veces en la factorización, es decir, que tras dividirlo una vez el cociente sigue anulándose en a. Por ejemplo x³ − 6x² + 12x − 8 es (x − 2)³: la raíz 2 tiene multiplicidad tres.
¿Se puede usar Ruffini para dividir entre (2x − 1)?
No directamente: la regla vale para divisores mónicos, de la forma (x − a). Pero se saca el 2, escribiendo 2x − 1 = 2(x − 1/2), se divide entre (x − 1/2) y luego se divide el cociente entre 2. Esta calculadora admite valores fraccionarios de a, así que puedes introducir 0,5 directamente.
Cómo funciona este cálculo
División sintética entre (x − a): dados los coeficientes aₙ, aₙ₋₁, …, a₀, se toma bₙ₋₁ = aₙ y después b₍ₖ₋₁₎ = aₖ + a·bₖ bajando hasta el término independiente. Los b son los coeficientes del cociente y el último valor calculado es el resto R, con P(x) = (x − a)·Q(x) + R. Teorema del resto: R = P(a). Teorema del factor: (x − a) divide a P exactamente cuando P(a) = 0. Teorema de las raíces racionales: si P tiene coeficientes enteros, toda raíz racional p/q en forma irreducible tiene p divisor de a₀ y q divisor de aₙ; la búsqueda prueba todos esos candidatos con ambos signos y repite la división en cada uno mientras el resto siga siendo cero, lo que da la multiplicidad. El cero no está entre esos candidatos, porque no divide al término independiente, y se trata aparte: es raíz cuando a₀ = 0. Todos los cálculos se hacen con fracciones de enteros y no en coma flotante, porque el resto debe compararse con cero exactamente.
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