Matemática
Calculadora do dispositivo de Briot-Ruffini
Informe os coeficientes do polinômio e um valor para a: você obtém o dispositivo da divisão por (x − a), o quociente, o resto e a fatoração completa com todas as raízes racionais e suas multiplicidades.
Para que serve o dispositivo de Briot-Ruffini
O dispositivo de Briot-Ruffini é um jeito rápido de dividir um polinômio por um binômio da forma (x − a): desce-se o primeiro coeficiente, multiplica-se por a, soma-se ao coeficiente seguinte e continua-se até o fim. Os números da linha de baixo são os coeficientes do quociente, e o último é o resto. Ocupa menos espaço que a divisão longa porque só se escrevem os coeficientes, sem reescrever as potências de x a cada vez.
Esse último número é mais que um resto: pelo teorema do resto, é o valor do polinômio em a. Se der zero, a é raiz, (x − a) é um fator e o quociente é o que falta fatorar — um grau abaixo, e por isso mais fácil. Repetindo o processo no quociente chega-se à fatoração completa, e é por isso que divisão e fatoração são ensinadas juntas.
Falta saber quais valores de a testar, e isso é o teorema das raízes racionais: se o polinômio tem coeficientes inteiros, toda raiz racional p/q tem p dividindo o termo independente e q dividindo o coeficiente dominante. Os candidatos são, portanto, finitos, e todos podem ser testados. O que falhar não é raiz racional, e esta calculadora diz isso em vez de devolver uma aproximação: um polinômio como x² − 2 tem raízes reais, mas nenhuma é racional, e o dispositivo não vai fatorá-lo.
Erros frequentes
- Errar o sinal de a. A divisão é por (x − a), então para dividir por (x + 3) o valor a informar é −3. É o deslize mais comum, e um resto grande onde se esperava zero é como ele aparece.
- Deixar de fora os coeficientes nulos. Em x³ − 4x o coeficiente de x² é zero e precisa ser informado: pulá-lo desloca todos os outros coeficientes e a resposta não tem nada a ver com o polinômio de partida.
- Testar só números inteiros. Com coeficiente dominante diferente de 1 as raízes racionais podem ser frações: 2x² − 3x + 1 se anula em 1/2, que nenhuma busca só entre os inteiros encontraria.
Perguntas frequentes
Como funciona o dispositivo de Briot-Ruffini, passo a passo?
Escreva os coeficientes da maior potência até o termo independente, zeros incluídos. Desça o primeiro, multiplique-o por a e some ao segundo; multiplique esse resultado por a e some ao terceiro, e assim por diante. Todos os números menos o último são os coeficientes do quociente; o último é o resto.
Quando um polinômio é divisível por (x − a)?
Quando o resto é zero, ou seja, quando P(a) = 0. É o teorema de D'Alembert, consequência direta do teorema do resto: dividir por (x − a) deixa como resto o valor do polinômio em a.
Como saber quais raízes testar?
Pelo teorema das raízes racionais: com coeficientes inteiros, toda raiz racional é p/q, em que p divide o termo independente e q divide o coeficiente dominante. Cada candidato é testado, com os dois sinais. Esta calculadora faz isso por você.
O que significa uma raiz ter multiplicidade dois?
Que o fator (x − a) aparece duas vezes na fatoração — depois de dividi-lo uma vez, o quociente ainda se anula em a. Por exemplo, x³ − 6x² + 12x − 8 é (x − 2)³: a raiz 2 tem multiplicidade três.
O dispositivo de Briot-Ruffini divide por (2x − 1)?
Não diretamente: a regra é para divisores mônicos, da forma (x − a). Mas você pode pôr o 2 em evidência, escrevendo 2x − 1 = 2(x − 1/2), dividir por (x − 1/2) e depois dividir o quociente por 2. Esta calculadora aceita valores fracionários de a, então você pode informar 0,5 direto.
Como funciona este cálculo
Divisão por (x − a) pelo dispositivo de Briot-Ruffini: dados os coeficientes aₙ, aₙ₋₁, …, a₀, faça bₙ₋₁ = aₙ e depois b₍ₖ₋₁₎ = aₖ + a·bₖ descendo até o termo independente. Os b são os coeficientes do quociente e o último valor calculado é o resto R, com P(x) = (x − a)·Q(x) + R. Teorema do resto: R = P(a). Teorema de D'Alembert: (x − a) divide P exatamente quando P(a) = 0. Teorema das raízes racionais: se P tem coeficientes inteiros, toda raiz racional p/q na forma irredutível tem p dividindo a₀ e q dividindo aₙ; a busca testa todos esses candidatos com os dois sinais e repete a divisão em cada um enquanto o resto continuar zero, o que dá a multiplicidade. O zero não está entre esses candidatos, já que não divide nenhum termo independente, e é tratado à parte: é raiz quando a₀ = 0. Toda a aritmética é feita com frações de inteiros e não em ponto flutuante, porque o resto precisa ser comparado com zero exatamente.
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