Matemática
Calculadora de probabilidade
Da probabilidade clássica ao teorema de Bayes: escolha a regra de que o seu problema precisa e informe os dados. O complementar é sempre mostrado, porque os problemas de “pelo menos um” se resolvem por ele.
As regras e quando se aplicam
A definição clássica — casos favoráveis sobre casos possíveis — só vale se todos os casos são igualmente prováveis. É por isso que funciona com dados e baralhos e não com “ou chove amanhã ou não chove”: esses dois casos não são igualmente prováveis, e contá-los como dois em dois daria 50% a qualquer evento.
União e interseção são as duas operações básicas. Para a união somam-se as probabilidades e subtrai-se a interseção, porque os casos comuns seriam contados duas vezes. Para a interseção multiplica-se, mas só se os eventos forem independentes: tirar dois ases de um baralho sem reposição não é independente, e multiplicar 4/52 por 4/52 dá a resposta errada.
O teorema de Bayes é o menos intuitivo e o mais útil. Na forma do teste diagnóstico ele mostra por que um teste 99% preciso para uma doença rara ainda produz uma enxurrada de falsos alarmes: se a doença atinge uma pessoa em cem e o teste erra em 5% das pessoas saudáveis, então em dez mil pessoas cerca de noventa e nove doentes são encontrados, mas quase quinhentas pessoas saudáveis dão positivo. A probabilidade de estar realmente doente depois de um teste positivo fica, portanto, em torno de 17%, não 99%.
Erros frequentes
- Multiplicar as probabilidades de eventos que não são independentes: se o resultado do primeiro muda as condições do segundo, é preciso a probabilidade condicional, não um simples produto.
- Informar porcentagens em vez de frações: uma probabilidade de 25% se escreve 0,25. Um valor acima de 1 não é uma probabilidade.
- Trocar P(A|B) por P(B|A) no teorema de Bayes: a probabilidade de estar doente dado um teste positivo é muito diferente da probabilidade de dar positivo estando doente. É justamente o erro em torno do qual o teorema é construído.
Perguntas frequentes
Como se calcula a probabilidade de dois eventos independentes?
Multiplique as duas probabilidades: P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Só vale se os eventos forem independentes, ou seja, se um acontecer não muda a probabilidade do outro.
Como se calcula a probabilidade de que pelo menos um de dois eventos aconteça?
Com a fórmula da união: P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Para eventos independentes também dá para passar pelo complementar: 1 menos a probabilidade de que nenhum dos dois aconteça.
O que é a probabilidade condicional?
A probabilidade de A sabendo que B aconteceu, igual a P(A ∩ B)/P(B). Saber que B ocorreu restringe o espaço amostral, então divide-se pela probabilidade de B.
Quando se usa a distribuição binomial?
Quando a mesma tentativa independente com dois resultados e probabilidade de sucesso constante é repetida n vezes e se quer saber quão provável é obter exatamente k sucessos. Lançamentos de moeda, lances livres, controles de qualidade de um lote.
Como funciona este cálculo
Probabilidade clássica: P = casos favoráveis / casos possíveis, válida quando os casos são igualmente prováveis. Complementar: P(não A) = 1 − P(A). União: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Interseção de eventos independentes: P(A ∩ B) = P(A)·P(B); pelo menos um dos dois: 1 − (1−P(A))·(1−P(B)). Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B), definida para P(B) > 0. Teorema de Bayes: P(A|B) = P(B|A)·P(A) / [P(B|A)·P(A) + P(B|¬A)·P(¬A)], em que o denominador é a probabilidade total da evidência. Distribuição binomial: P(X = k) = C(n; k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ, com valor esperado n·p e variância n·p·(1−p).
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