Umfang- und Flächenrechner: 9 ebene Figuren

Wofür Umfang und Fläche gebraucht werden

Der Umfang misst den Rand, die Fläche das, was er einschließt: zwei verschiedene Fragen, die fast immer gemeinsam auftreten. Für den Zaun um einen Garten brauchen Sie den Umfang, für den einzusäenden Rasen die Fläche. Dieselbe Figur kann großen Umfang und kleine Fläche haben — ein langes, schmales Rechteck zeigt das sofort.

Das Dreieck wird hier aus seinen drei Seiten mit der Formel von Heron gelöst: man bildet den halben Umfang s = (a+b+c)/2, und die Fläche ist die Wurzel aus s(s−a)(s−b)(s−c). Das entspricht dem, was sich mit einem Maßband tatsächlich messen lässt, während die Höhe fast immer erst hergeleitet werden muss. Der Vollständigkeit halber gibt der Rechner auch die Höhe auf der Grundseite aus, die Größe, nach der die Schulformel verlangt.

Das regelmäßige Vieleck verbindet beide Welten: Umfang und Fläche folgen aus Eckenzahl und Seitenlänge über das Apothema, den Abstand vom Mittelpunkt zur Seitenmitte. Mit wachsender Eckenzahl nähert sich das Vieleck dem Kreis, und beide Ergebnisse laufen zusammen.

Häufige Fehler

Radius und Durchmesser beim Kreis verwechseln: der Durchmesser muss vor der Eingabe halbiert werden, sonst fällt die Fläche viermal zu groß aus.
Bei Parallelogramm und Trapez die schräge Seite statt der Höhe verwenden: die Höhe ist der senkrechte Abstand zwischen den Grundseiten, stets kleiner oder gleich der Seite.
Einheiten mischen: steht ein Maß in Metern und ein anderes in Zentimetern, bedeutet das Ergebnis nichts. Erst umrechnen, dann rechnen.

Häufige Fragen

Kann ich die Fläche eines Dreiecks ohne die Höhe berechnen?

Ja, und das ist der Normalfall: die drei Seiten genügen. Die Formel von Heron liefert die Fläche, und der Rechner zeigt zusätzlich die Höhe auf der Grundseite als abgeleitetes Maß.

Warum ist der Umfang der Ellipse nur genähert?

Weil es keine elementare Formel gibt: der exakte Umfang ist ein elliptisches Integral, daher auch der Name. Die hier verwendete Näherung von Ramanujan weicht für jede sinnvolle Ellipse um weniger als ein Milliardstel ab — weit weniger als der Fehler Ihrer Achsenmessung.

In welcher Einheit kommt das Ergebnis?

In derselben, die Sie für die Eingaben verwendet haben. Messen Sie in Metern, ist der Umfang in Metern und die Fläche in Quadratmetern: der Rechner nimmt keine Umrechnung vor.

Wie diese Berechnung funktioniert

Quadrat: U = 4l, A = l². Rechteck: U = 2(b+h), A = b·h. Dreieck (Heron): s = (a+b+c)/2, A = √(s(s−a)(s−b)(s−c)). Kreis: U = 2πr, A = πr². Parallelogramm: U = 2(b+l), A = b·h. Raute: U = 4l, A = (d₁·d₂)/2. Trapez: U = B+b+l₁+l₂, A = (B+b)·h/2. Regelmäßiges n-Eck: U = n·l, Apothema = l/(2·tan(π/n)), A = U·Apothema/2. Ellipse: A = π·a·b, Umfang ≈ π(a+b)[1 + 3h/(10+√(4−3h))] mit h = (a−b)²/(a+b)², Näherung von Ramanujan.

Satz des Pythagoras

Fehlende Hypotenuse oder Kathete, mit Fläche, Umfang, Winkeln und den Sätzen des Euklid.

Dreieck berechnen

Jedes Dreieck aus drei Maßen lösen, zweideutiger Fall eingeschlossen.

Trigonometrische Formeln

Grundfunktionen, Halbwinkel, Doppelwinkel, Additionstheoreme, Prosthaphärese und Werner für einen oder zwei Winkel.

Volumen und Oberfläche

Volumen, Gesamt- und Mantelfläche von sieben Körpern, mit Mantellinie und Raumdiagonale.