Mathematik
Wahrscheinlichkeitsrechner
Von der klassischen Wahrscheinlichkeit bis zum Satz von Bayes: wähle die Regel, die dein Problem braucht, und gib die Werte ein. Die Gegenwahrscheinlichkeit steht immer dabei, denn über sie löst man „mindestens eins"-Aufgaben.
Die Regeln und wann sie gelten
Die klassische Definition — günstige zu möglichen Fällen — gilt nur, wenn alle Fälle gleich wahrscheinlich sind. Deshalb funktioniert sie bei Würfeln und Kartenspielen und nicht bei „morgen regnet es oder nicht": diese beiden Fälle sind nicht gleich wahrscheinlich, und sie als zwei von zwei zu zählen gäbe jedem beliebigen Ereignis 50 %.
Vereinigung und Schnitt sind die beiden Grundoperationen. Bei der Vereinigung addiert man die Wahrscheinlichkeiten und zieht den Schnitt ab, weil die gemeinsamen Fälle sonst doppelt gezählt würden. Beim Schnitt multipliziert man, aber nur bei unabhängigen Ereignissen: zwei Asse ohne Zurücklegen zu ziehen ist nicht unabhängig, und 4/52 mit 4/52 zu multiplizieren liefert das falsche Ergebnis.
Der Satz von Bayes ist der am wenigsten intuitive und der nützlichste. In der Form des diagnostischen Tests zeigt er, warum ein zu 99 % treffsicherer Test bei einer seltenen Krankheit dennoch sehr viele Fehlalarme erzeugt: betrifft die Krankheit eine von hundert Personen und irrt der Test bei 5 % der Gesunden, so werden unter zehntausend Personen etwa neunundneunzig Kranke gefunden, aber fast fünfhundert Gesunde fälschlich positiv. Die Wahrscheinlichkeit, nach einem positiven Test tatsächlich krank zu sein, liegt damit bei rund 17 %, nicht bei 99 %.
Häufige Fehler
- Die Wahrscheinlichkeiten nicht unabhängiger Ereignisse multiplizieren: ändert der Ausgang des ersten die Bedingungen des zweiten, braucht es die bedingte Wahrscheinlichkeit und nicht das einfache Produkt.
- Prozentsätze statt Bruchteile eingeben: eine Wahrscheinlichkeit von 25 % schreibt man 0,25. Ein Wert größer als 1 ist keine Wahrscheinlichkeit.
- P(A|B) mit P(B|A) vertauschen: die Wahrscheinlichkeit, bei positivem Test krank zu sein, unterscheidet sich stark von der Wahrscheinlichkeit, bei Krankheit positiv zu testen. Genau um diesen Fehler ist der Satz herum gebaut.
Häufige Fragen
Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit zweier unabhängiger Ereignisse?
Man multipliziert die beiden Wahrscheinlichkeiten: P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Das gilt nur bei Unabhängigkeit, also wenn das Eintreten des einen die Wahrscheinlichkeit des anderen nicht ändert.
Wie berechnet man, dass mindestens eines von zwei Ereignissen eintritt?
Mit der Formel für die Vereinigung: P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Bei unabhängigen Ereignissen geht es auch über die Gegenwahrscheinlichkeit: 1 minus der Wahrscheinlichkeit, dass keines eintritt.
Was ist die bedingte Wahrscheinlichkeit?
Die Wahrscheinlichkeit von A, wenn B eingetreten ist; sie beträgt P(A ∩ B)/P(B). Das Wissen, dass B eingetreten ist, schränkt den Raum der möglichen Fälle ein, deshalb wird durch die Wahrscheinlichkeit von B geteilt.
Wann verwendet man die Binomialverteilung?
Wenn derselbe unabhängige Versuch mit zwei Ausgängen und konstanter Trefferwahrscheinlichkeit n-mal wiederholt wird und man wissen will, wie wahrscheinlich genau k Treffer sind. Münzwürfe, Freiwürfe, Qualitätsprüfungen an einer Charge.
Wie diese Berechnung funktioniert
Klassische Wahrscheinlichkeit: P = günstige Fälle / mögliche Fälle, gültig bei gleich wahrscheinlichen Fällen. Gegenwahrscheinlichkeit: P(nicht A) = 1 − P(A). Vereinigung: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Schnitt unabhängiger Ereignisse: P(A ∩ B) = P(A)·P(B); mindestens eines von beiden: 1 − (1−P(A))·(1−P(B)). Bedingte Wahrscheinlichkeit: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B), definiert für P(B) > 0. Satz von Bayes: P(A|B) = P(B|A)·P(A) / [P(B|A)·P(A) + P(B|¬A)·P(¬A)], wobei der Nenner die totale Wahrscheinlichkeit der Evidenz ist. Binomialverteilung: P(X = k) = C(n; k)·pᵏ·(1−p)ⁿ⁻ᵏ, mit Erwartungswert n·p und Varianz n·p·(1−p).
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