Mathematik
Rechner für lineare und quadratische Gleichungen
Geben Sie die Koeffizienten von ax² + bx + c = 0 ein und erhalten Sie die Lösungen, die Diskriminante, den Scheitelpunkt der Parabel und die Linearfaktorzerlegung.
Wie diese Gleichungen gelöst werden
Eine Gleichung ersten Grades, bx + c = 0, hat stets genau eine Lösung, sofern b ungleich null ist: x = −c/b. Die beiden Grenzfälle sind aufschlussreich. Sind b und c beide null, gilt die Gleichheit für jedes x und die Gleichung heißt unbestimmt; ist b null, c aber nicht, erfüllt kein Wert sie und die Gleichung ist unlösbar.
Für den zweiten Grad lautet die Lösungsformel x = (−b ± √Δ) / 2a, wobei Δ = b² − 4ac die Diskriminante ist. Das Vorzeichen von Δ entscheidet alles: positiv ergibt zwei verschiedene reelle Lösungen, null eine doppelte Lösung, negativ zwei konjugiert komplexe der Form p ± qi. Im Koordinatensystem ist die Deutung unmittelbar: Δ gibt die Anzahl der Schnittpunkte zwischen der Parabel y = ax² + bx + c und der x-Achse an.
Um die Lösungen herum stehen weitere nützliche Angaben. Der Satz von Vieta besagt, dass die Summe der Lösungen −b/a und ihr Produkt c/a beträgt: eine ausgezeichnete Handprobe für das Ergebnis. Der Scheitelpunkt der Parabel liegt bei x = −b/2a, bei reellen Lösungen genau in deren Mitte, und seine y-Koordinate sagt, ob die Parabel die Achse berührt, schneidet oder verfehlt. Bei reellen Lösungen lässt sich die Linearfaktorform a(x − x₁)(x − x₂) schreiben, dieselbe Gleichung als Produkt von Faktoren gelesen.
Zahlenbeispiel: x² − 3x + 2 = 0. Die Diskriminante ist 9 − 8 = 1, also positiv, es gibt somit zwei reelle Lösungen: x = (3 ± 1) / 2, nämlich 1 und 2. Ihre Summe ist 3, was −b/a entspricht, ihr Produkt 2, also c/a. Der Scheitelpunkt liegt bei x = 1,5 mit dem y-Wert −0,25, die Linearfaktorform lautet (x − 1)(x − 2).
Häufige Fehler
- Das Minuszeichen vor b in der Lösungsformel vergessen: der häufigste Fehler, wenn b bereits negativ ist, weil sich die beiden Vorzeichen aufheben.
- Die Diskriminante als b² − 4c berechnen und den Koeffizienten a weglassen: Richtig ist b² − 4ac.
- Schließen, eine Gleichung habe keine Lösungen, wenn die Diskriminante negativ ist: Sie hat keine reellen, aber zwei konjugiert komplexe.
- Durch a dividieren, ohne zu prüfen, ob a ungleich null ist: Mit a gleich null ist die Gleichung linear und die Lösungsformel nicht anwendbar.
- Die Linearfaktorform als a(x + x₁)(x + x₂) schreiben: Die Vorzeichen der Lösungen müssen umgekehrt werden, denn die Faktoren lauten (x − x₁) und (x − x₂).
Häufige Fragen
Wie lautet die Lösungsformel für quadratische Gleichungen?
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a, gültig für a ungleich null. Der Ausdruck unter der Wurzel ist die Diskriminante Δ, deren Vorzeichen bestimmt, wie viele Lösungen es gibt und von welcher Art sie sind.
Was sagt die Diskriminante aus?
Δ = b² − 4ac gibt die Anzahl der reellen Lösungen an: Ist sie positiv, gibt es zwei verschiedene, ist sie null, eine doppelt gezählte, ist sie negativ, keine reelle, aber zwei konjugiert komplexe. Geometrisch zählt sie die Schnittpunkte der Parabel mit der x-Achse.
Was passiert, wenn der Koeffizient a null ist?
Die Gleichung ist dann nicht mehr quadratisch, sondern linear, bx + c = 0, mit der Lösung x = −c/b. Der Rechner erkennt diesen Fall selbst und wechselt zur richtigen Formel, statt durch null zu dividieren.
Wie findet man den Scheitelpunkt der Parabel?
Die x-Koordinate des Scheitelpunkts ist x = −b/2a, die y-Koordinate ergibt sich durch Einsetzen dieses Werts in die Gleichung. Bei reellen Lösungen liegt der Scheitelpunkt genau in deren Mitte, denn die Parabel ist symmetrisch zu dieser Senkrechten.
Was besagt der Satz von Vieta?
Er verknüpft die Koeffizienten mit den Lösungen, ohne die Gleichung zu lösen: Die Summe der Lösungen beträgt −b/a, ihr Produkt c/a. Das ist eine schnelle Kontrolle eines Ergebnisses oder ein Weg, aus den Lösungen eine Gleichung zu rekonstruieren.
So funktioniert diese Berechnung
Ersten Grades: Aus bx + c = 0 folgt x = −c/b. Zweiten Grades: Δ = b² − 4ac und x = (−b ± √Δ) / 2a. Bei Δ < 0 lauten die Lösungen (−b / 2a) ± (√(−Δ) / 2a)i. Der Scheitelpunkt liegt bei x = −b/2a, die y-Koordinate folgt durch Einsetzen. Summe und Produkt der Lösungen betragen −b/a und c/a. Um den Genauigkeitsverlust zu vermeiden, wenn sich −b und √Δ fast aufheben, gewinnt der Rechner eine Lösung aus der Formel und die andere aus dem Produkt c/a.
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