Calculadora de vectores: producto escalar, vectorial y ángulo

Las dos formas de multiplicar vectores

Sumar dos vectores es sencillo —se suman las componentes—, pero multiplicarlos se puede hacer de dos maneras distintas, y sirven para cosas distintas. El producto escalar u · v = uₓvₓ + u_yv_y + u_zv_z devuelve un número, y ese número vale |u||v|·cos θ: mide cuánto apuntan los dos en la misma dirección. Es cero cuando son perpendiculares, y es el cálculo que hay detrás del trabajo de una fuerza a lo largo de un desplazamiento y de la proyección de un vector sobre otro.

El producto vectorial u × v devuelve en cambio otro vector, perpendicular a ambos, de módulo |u||v|·sen θ. Ese módulo es el área del paralelogramo que forman los dos vectores —y su mitad es el área del triángulo—, mientras que su dirección da la normal al plano que determinan. Solo existe en el espacio: en el plano sobrevive únicamente la componente z, que es el área con signo, positiva si v queda a la izquierda de u.

El ángulo entre dos vectores se puede obtener de ambos productos, pero no con la misma precisión. Del producto escalar sale cos θ, y el coseno es plano cerca de 0° y de 180°: allí un error de redondeo en la novena cifra desplaza el ángulo en la quinta. Esta calculadora usa en su lugar el arcotangente del cociente entre el módulo del producto vectorial y el producto escalar, que se mantiene preciso en ambos extremos, y por eso dos vectores casi paralelos dan aquí un ángulo fiable.

Errores frecuentes

Intercambiar los dos productos. El producto escalar da un número, el vectorial da un vector: si lo que se busca es un área o una normal hace falta el segundo, y si es un trabajo o una proyección, el primero.
Dar por hecho que u × v es igual a v × u. El producto vectorial cambia de signo al intercambiar los factores: u × v = −(v × u). El escalar, en cambio, es simétrico, y de ahí viene la costumbre equivocada.
Confundir el vector unitario con el vector. El unitario tiene la misma dirección pero módulo 1, y se obtiene dividiendo cada componente por el módulo. El vector nulo es el único que no lo tiene, porque no tiene dirección que conservar.

Preguntas frecuentes

¿Cómo se calcula el ángulo entre dos vectores?

De la relación u · v = |u||v|·cos θ se despeja θ = arccos(u · v / (|u||v|)). Cerca de 0° y de 180° esa fórmula pierde precisión, porque el coseno allí es plano: es más estable θ = arctan2(|u × v|, u · v), que es la forma usada aquí.

¿Cuándo son perpendiculares dos vectores?

Cuando su producto escalar es nulo. No hace falta calcular el ángulo: si uₓvₓ + u_yv_y + u_zv_z da cero y ninguno de los dos es el vector nulo, el ángulo es de 90°.

¿Cómo se sabe si dos vectores son paralelos?

Cuando el producto vectorial se anula, es decir, cuando uno es múltiplo del otro. En el plano basta comprobar que uₓv_y − u_yvₓ dé cero. Ojo: también son paralelos los vectores que apuntan en sentidos opuestos, y entonces el ángulo es de 180°.

¿Para qué sirve la proyección de un vector sobre otro?

Para separar un vector en dos partes: la que va en la dirección de v y la que le es perpendicular. La primera vale (u · v / |v|²)·v y la segunda es lo que queda. Es el paso que aparece al descomponer fuerzas en un plano inclinado y al ortogonalizar una base.

¿Cómo se calcula el área de un triángulo a partir de dos vectores?

Es la mitad del módulo del producto vectorial: área = |u × v|/2. En el plano se reduce a |uₓv_y − u_yvₓ|/2. Si los tres vértices son A, B y C, se toman u = B − A y v = C − A.

Cómo funciona este cálculo

Módulo: |u| = √(uₓ² + u_y² + u_z²). Vector unitario: û = u/|u|, definido solo si |u| ≠ 0. Suma y diferencia: componente a componente. Producto escalar: u · v = uₓvₓ + u_yv_y + u_zv_z = |u||v|·cos θ. Producto vectorial: u × v = (u_yv_z − u_zv_y, u_zvₓ − uₓv_z, uₓv_y − u_yvₓ), con |u × v| = |u||v|·sen θ; en el plano solo queda la componente z. Ángulo: θ = arctan2(|u × v|, u · v), preferido al arcocoseno porque se mantiene preciso cerca de 0° y 180°. Área del paralelogramo: |u × v|; del triángulo: la mitad. Proyección de u sobre v: componente escalar u · v/|v|, vector (u · v/|v|²)·v; la parte perpendicular es u menos esa proyección. Distancia entre los extremos: |u − v|. Perpendiculares si u · v = 0; paralelos si |u × v| = 0. Ambas comprobaciones usan una tolerancia proporcional a |u||v|, porque en coma flotante un producto que debería anularse casi nunca da exactamente cero.

Recta por dos puntos

Ecuación de la recta en forma explícita e implícita, pendiente e intersecciones.

Distancia y punto medio

Distancia entre dos puntos del plano cartesiano y coordenadas del punto medio.

Cónicas

Reconoce la cónica a partir de la ecuación general y obtiene centro, focos, ejes, excentricidad, asíntotas y forma canónica.

Matrices y vectores

Suma, producto, determinante, transpuesta, producto escalar y módulo entre matrices y vectores.