Matemáticas
Fracción generatriz de un número periódico
Escribe un número periódico con el periodo entre paréntesis, como 0,1(6), y obtén su fracción generatriz irreducible. O escribe una fracción y ve el decimal con el periodo marcado.
Números periódicos y fracción generatriz
Toda fracción, al dividir, da un decimal exacto o periódico. Es exacto cuando el denominador, simplificado, solo tiene los factores 2 y 5; si no, las cifras se repiten sin fin, porque los restos posibles de la división son finitos y alguno acaba repitiéndose. 1/7 = 0,(142857) tiene un periodo de seis cifras; 1/97, de 96.
El camino inverso es la fracción generatriz. La regla del colegio: en el numerador, el número sin coma menos la parte anterior al periodo; en el denominador, tantos 9 como cifras tiene el periodo, seguidos de tantos 0 como cifras tiene el anteperiodo. Para 0,1(6): (16 − 1) / 90 = 15/90 = 1/6.
La regla funciona porque multiplicar por una potencia de 10 desplaza el periodo, y al restar dos copias del número las colas infinitas se anulan. Por eso también 0,(9) vale exactamente 1: la diferencia entre ambos sería menor que cualquier cantidad positiva.
Errores frecuentes
- Poner solo 9 en el denominador cuando hay anteperiodo: para 0,1(6) hace falta 90, no 9.
- Olvidar restar la parte no periódica en el numerador.
- No simplificar la fracción: 15/90 es correcta, pero el resultado esperado es 1/6.
Preguntas frecuentes
¿Por qué 0,(9) es igual a 1?
Porque 1/3 = 0,(3) y tres veces 1/3 es 1, mientras que tres veces 0,(3) es 0,(9). Con la regla: 9/9 = 1. Dos números distintos tendrían entre sí una diferencia positiva, y aquí no la hay.
¿Cómo se sabe si una fracción da un número periódico?
Se simplifica y se descompone el denominador: si solo tiene factores 2 y 5, el decimal es exacto; si no, es periódico. Sin 2 ni 5 es periódico puro; con ellos junto a otros factores, periódico mixto.
¿Cuánto puede medir el periodo?
Como mucho el denominador menos uno: 1/7 tiene 6 cifras, 1/17 tiene 16 y 1/97, 96.
Cómo funciona este cálculo
Decimal a,b(c) con anteperiodo b de k cifras y periodo c de p cifras: fracción = (abc − ab) / (99…9 00…0), con p nueves y k ceros. Decimal exacto a,b: ab / 10^k. De fracción a decimal: división larga; el periodo empieza cuando se repite un resto y mide el tramo entre las dos repeticiones.
Cálculos relacionados
Descomposición en factores primos
Factores primos de un número de hasta 30 cifras, con la división en columna, los divisores y el test de primalidad.
MCD y mcm
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo con descomposición en factores primos.
Fracciones
Suma, resta, producto y cociente de fracciones, simplificadas a su mínima expresión.
Notación científica
Notación científica y de ingeniería, cifras significativas y redondeo de cualquier número.