Matemáticas
Factorización de un polinomio paso a paso
Escribe un polinomio en x: obtendrás su factorización con los pasos, del factor común a las raíces halladas con Ruffini, los productos notables reconocidos y las raíces reales y complejas.
Cómo se factoriza un polinomio
Factorizar un polinomio es escribirlo como producto de polinomios de grado menor. El orden de los pasos es siempre el mismo: primero se saca el factor común a todos los términos, luego se buscan productos notables, después las raíces con la regla de Ruffini y por último se tratan los trinomios de segundo grado.
La regla de Ruffini se apoya en el teorema del resto: si un número a anula el polinomio, (x − a) es un factor. Las raíces racionales posibles son fracciones con numerador divisor del término independiente y denominador divisor del coeficiente principal. Para 2x⁴ − 2x³ − 14x² + 2x + 12, sacado el 2, las raíces −2, −1, 1 y 3 dan 2(x + 2)(x + 1)(x − 1)(x − 3).
Cuando queda un trinomio ax² + bx + c decide el discriminante Δ = b² − 4ac: si es un cuadrado perfecto, las raíces son racionales; si es positivo pero no cuadrado, el trinomio se factoriza solo en los reales, con raíces irracionales; si es negativo, es irreducible. Algunos polinomios sin raíces se separan igualmente en dos trinomios, como x⁴ + 4 = (x² − 2x + 2)(x² + 2x + 2).
Errores frecuentes
- Olvidar sacar factor común al principio: complica todos los pasos siguientes.
- Confundir (x − a) con (x + a): si la raíz es 3, el factor es (x − 3).
- Considerar x² + 1 irreducible también en los complejos: en los reales lo es; en los complejos es (x + i)(x − i).
Preguntas frecuentes
¿Cómo se eligen las raíces para probar con Ruffini?
Se toman los divisores del término independiente y se dividen entre los del coeficiente principal, con los dos signos. Para 6x² − x − 2: ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6. Aquí funcionan −1/2 y 2/3.
¿Todo polinomio se puede factorizar?
En los complejos sí, siempre en factores de primer grado: es el teorema fundamental del álgebra. En los reales se llega siempre a factores de primer y segundo grado. En los racionales, en cambio, muchos polinomios, como x² − 2, son irreducibles.
¿Qué diferencia hay entre raíz y factor?
Son dos caras de lo mismo: a es raíz del polinomio si y solo si (x − a) es un factor suyo.
Cómo funciona este cálculo
Factor común: se divide entre el MCD de los coeficientes. Teorema del resto: P(a) = 0 ⇔ (x − a) divide a P(x). Raíces racionales posibles: p/q con p divisor del término independiente y q divisor del coeficiente principal. Trinomio ax² + bx + c: Δ = b² − 4ac, raíces x = (−b ± √Δ) / 2a y ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). Cuártica: (a₁x² + b₁x + c₁)(a₂x² + b₂x + c₂) con coeficientes enteros, comparando coeficientes.
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