Matemáticas
Calculadora de ecuaciones de primer y segundo grado
Introduce los coeficientes de ax² + bx + c = 0 y obtén las raíces, el discriminante, el vértice de la parábola y la factorización.
Cómo se resuelven estas ecuaciones
Una ecuación de primer grado, bx + c = 0, tiene siempre exactamente una solución cuando b es distinto de cero: x = −c/b. Los dos casos límite son instructivos. Si b y c son ambos nulos la igualdad se cumple para cualquier x y la ecuación se llama indeterminada; si b es nulo pero c no, ningún valor la satisface y la ecuación es incompatible.
Para el segundo grado la fórmula resolvente es x = (−b ± √Δ) / 2a, donde Δ = b² − 4ac es el discriminante. Es el signo de Δ el que lo decide todo: positivo da dos raíces reales distintas, nulo una raíz doble, negativo dos raíces complejas conjugadas de la forma p ± qi. En el plano cartesiano la lectura es inmediata: Δ indica el número de cortes entre la parábola y = ax² + bx + c y el eje de abscisas.
Alrededor de las raíces giran otras informaciones útiles. Las relaciones de Cardano-Vieta dicen que la suma de las raíces vale −b/a y el producto c/a: son una excelente comprobación a mano del resultado. El vértice de la parábola está en x = −b/2a, exactamente a mitad de camino entre las dos raíces cuando estas son reales, y su ordenada dice si la parábola toca, corta o evita el eje. Cuando las raíces son reales puede escribirse la forma factorizada a(x − x₁)(x − x₂), que es la misma ecuación releída como producto de factores.
Ejemplo numérico: x² − 3x + 2 = 0. El discriminante es 9 − 8 = 1, positivo, así que hay dos raíces reales: x = (3 ± 1) / 2, es decir 1 y 2. La suma es 3, que coincide con −b/a, y el producto es 2, es decir c/a. El vértice está en x = 1,5 con ordenada −0,25, y la forma factorizada es (x − 1)(x − 2).
Errores frecuentes
- Olvidar el signo menos delante de b en la fórmula resolvente: es el error más frecuente cuando b ya es negativo, porque los dos signos se anulan.
- Calcular el discriminante como b² − 4c, dejando fuera el coeficiente a: la fórmula correcta es b² − 4ac.
- Concluir que una ecuación no tiene soluciones cuando el discriminante es negativo: no las tiene reales, pero sí dos complejas conjugadas.
- Dividir por a sin comprobar que sea distinto de cero: con a nulo la ecuación es de primer grado y la fórmula resolvente no se aplica.
- Escribir la forma factorizada como a(x + x₁)(x + x₂): los signos de las raíces deben invertirse, porque los factores son (x − x₁) y (x − x₂).
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la fórmula de las ecuaciones de segundo grado?
x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a, válida cuando a es distinto de cero. La cantidad bajo la raíz es el discriminante Δ, y su signo determina cuántas soluciones hay y de qué tipo.
¿Qué indica el discriminante?
Δ = b² − 4ac indica el número de soluciones reales: si es positivo hay dos distintas, si es cero una sola contada dos veces, si es negativo ninguna real pero dos complejas conjugadas. Geométricamente cuenta los cortes de la parábola con el eje x.
¿Qué pasa si el coeficiente a es cero?
La ecuación deja de ser de segundo grado y pasa a ser de primero, bx + c = 0, con solución x = −c/b. La calculadora reconoce el caso por sí sola y aplica la fórmula correcta en lugar de dividir por cero.
¿Cómo se halla el vértice de la parábola?
La abscisa del vértice es x = −b/2a y la ordenada se obtiene sustituyendo ese valor en la ecuación. Cuando las raíces son reales el vértice está exactamente a mitad de camino entre ellas, porque la parábola es simétrica respecto de esa vertical.
¿Qué son las relaciones de Cardano-Vieta?
Relacionan los coeficientes con las raíces sin resolver la ecuación: la suma de las raíces vale −b/a y el producto c/a. Son una forma rápida de comprobar un resultado, o de reconstruir una ecuación a partir de sus soluciones.
Cómo funciona este cálculo
Primer grado: de bx + c = 0 se sigue x = −c/b. Segundo grado: Δ = b² − 4ac y x = (−b ± √Δ) / 2a. Con Δ < 0 las raíces son (−b / 2a) ± (√(−Δ) / 2a)i. El vértice está en x = −b/2a, con ordenada obtenida por sustitución. La suma y el producto de las raíces valen −b/a y c/a. Para evitar la pérdida de precisión cuando −b y √Δ casi se cancelan, la calculadora obtiene una raíz de la fórmula y la otra del producto c/a.