Algèbre linéaire
Calculateur de calcul vectoriel
Saisissez les composantes de deux vecteurs dans le plan ou dans l'espace : norme, vecteur unitaire, produits scalaire et vectoriel, angle, projection et aires se mettent à jour aussitôt, et dans le plan vous voyez les deux vecteurs tracés avec le parallélogramme de leur somme.
Les deux façons de multiplier des vecteurs
Additionner deux vecteurs est simple — on additionne les composantes — mais on peut les multiplier de deux façons différentes, qui répondent à des questions différentes. Le produit scalaire u · v = uₓvₓ + u_yv_y + u_zv_z rend un nombre, et ce nombre vaut |u||v|·cos θ : il mesure à quel point les deux pointent dans la même direction. Il est nul quand ils sont perpendiculaires, et c'est le calcul derrière le travail d'une force le long d'un déplacement comme derrière la projection d'un vecteur sur un autre.
Le produit vectoriel u × v rend au contraire un autre vecteur, perpendiculaire aux deux, de norme |u||v|·sin θ. Cette norme est l'aire du parallélogramme engendré par les deux vecteurs — sa moitié est celle du triangle — tandis que sa direction donne la normale au plan qu'ils déterminent. Il n'existe que dans l'espace : dans le plan il ne survit que la composante z, qui est l'aire signée, positive si v se trouve à gauche de u.
L'angle entre deux vecteurs se tire de l'un comme de l'autre, mais pas avec la même précision. Le produit scalaire donne cos θ, et le cosinus est plat près de 0° et de 180° : là, une erreur d'arrondi à la neuvième décimale déplace l'angle à la cinquième. Ce calculateur emploie plutôt l'arctangente de la norme du produit vectoriel sur le produit scalaire, qui reste nette aux deux extrémités — c'est pourquoi deux vecteurs presque parallèles reçoivent ici un angle fiable.
Erreurs fréquentes
- Intervertir les deux produits. Le produit scalaire donne un nombre, le produit vectoriel un vecteur : si la réponse attendue est une aire ou une normale, c'est le second ; si c'est un travail ou une projection, c'est le premier.
- Supposer que u × v est égal à v × u. Le produit vectoriel change de signe quand on intervertit les facteurs : u × v = −(v × u). Le produit scalaire, lui, est symétrique, et c'est de là que vient la mauvaise habitude.
- Confondre le vecteur unitaire avec le vecteur. Le vecteur unitaire a la même direction mais une norme de 1, et s'obtient en divisant chaque composante par la norme. Le vecteur nul est le seul à ne pas en avoir, faute de direction à conserver.
Questions fréquentes
Comment calculer l'angle entre deux vecteurs ?
De u · v = |u||v|·cos θ on tire θ = arccos(u · v / (|u||v|)). Près de 0° et de 180° cette formule perd en précision, car le cosinus y est plat : θ = atan2(|u × v|, u · v) est plus stable, et c'est la forme utilisée ici.
Quand deux vecteurs sont-ils perpendiculaires ?
Quand leur produit scalaire est nul. Nul besoin de l'angle : si uₓvₓ + u_yv_y + u_zv_z donne zéro et qu'aucun des deux n'est le vecteur nul, l'angle vaut 90°.
Comment savoir si deux vecteurs sont parallèles ?
Quand le produit vectoriel s'annule, c'est-à-dire quand l'un est multiple de l'autre. Dans le plan il suffit de vérifier que uₓv_y − u_yvₓ donne zéro. Attention : des vecteurs de sens opposés sont parallèles aussi, et leur angle vaut alors 180°.
À quoi sert la projection d'un vecteur sur un autre ?
À séparer un vecteur en deux parties : celle qui suit v et celle qui lui est perpendiculaire. La première vaut (u · v / |v|²)·v, la seconde est ce qui reste. C'est l'étape que l'on retrouve dans la décomposition des forces sur un plan incliné et dans l'orthogonalisation d'une base.
Comment calculer l'aire d'un triangle à partir de deux vecteurs ?
C'est la moitié de la norme du produit vectoriel : aire = |u × v|/2. Dans le plan cela se réduit à |uₓv_y − u_yvₓ|/2. Si les trois sommets sont A, B et C, on prend u = B − A et v = C − A.
Comment fonctionne ce calcul
Norme : |u| = √(uₓ² + u_y² + u_z²). Vecteur unitaire : û = u/|u|, défini seulement si |u| ≠ 0. Somme et différence : composante par composante. Produit scalaire : u · v = uₓvₓ + u_yv_y + u_zv_z = |u||v|·cos θ. Produit vectoriel : u × v = (u_yv_z − u_zv_y, u_zvₓ − uₓv_z, uₓv_y − u_yvₓ), avec |u × v| = |u||v|·sin θ ; dans le plan seule la composante z subsiste. Angle : θ = atan2(|u × v|, u · v), préféré à l'arccosinus parce qu'il reste précis près de 0° et de 180°. Aire du parallélogramme : |u × v| ; du triangle : la moitié. Projection de u sur v : composante scalaire u · v/|v|, vecteur (u · v/|v|²)·v ; la partie perpendiculaire est u moins cette projection. Distance entre les extrémités : |u − v|. Perpendiculaires si u · v = 0 ; parallèles si |u × v| = 0. Les deux tests emploient une tolérance proportionnelle à |u||v|, car en virgule flottante un produit censé s'annuler ne donne presque jamais exactement zéro.
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