Mathématiques
Factoriser un polynôme pas à pas
Saisis un polynôme en x : obtiens sa factorisation avec les étapes, de la mise en facteur aux racines trouvées par division, les identités remarquables reconnues et les racines réelles et complexes.
Comment factoriser un polynôme
Factoriser un polynôme, c'est l'écrire comme produit de polynômes de degré plus faible. L'ordre des étapes est toujours le même : d'abord la mise en facteur commun, puis les identités remarquables, ensuite la recherche de racines et la division par (x − a), enfin les trinômes du second degré.
La division repose sur une propriété simple : si un nombre a annule le polynôme, alors (x − a) en est un facteur. Les racines rationnelles possibles sont les fractions dont le numérateur divise le terme constant et le dénominateur le coefficient dominant. Pour 2x⁴ − 2x³ − 14x² + 2x + 12, après mise en facteur de 2, les racines −2, −1, 1 et 3 donnent 2(x + 2)(x + 1)(x − 1)(x − 3).
Quand il reste un trinôme ax² + bx + c, le discriminant Δ = b² − 4ac tranche : carré parfait, racines rationnelles ; positif mais non carré, factorisation seulement dans ℝ, avec des racines irrationnelles ; négatif, trinôme irréductible. Certains polynômes sans racine se factorisent quand même en deux trinômes, comme x⁴ + 4 = (x² − 2x + 2)(x² + 2x + 2).
Erreurs fréquentes
- Oublier la mise en facteur au départ : toutes les étapes suivantes deviennent plus difficiles.
- Confondre (x − a) et (x + a) : si la racine est 3, le facteur est (x − 3).
- Croire x² + 1 irréductible aussi dans ℂ : il l'est dans ℝ, mais dans ℂ il vaut (x + i)(x − i).
Questions fréquentes
Comment trouver les racines à tester ?
On divise les diviseurs du terme constant par ceux du coefficient dominant, avec les deux signes. Pour 6x² − x − 2 : ±1, ±2, ±1/2, ±1/3, ±2/3, ±1/6. Ici, −1/2 et 2/3 conviennent.
Tout polynôme se factorise-t-il ?
Dans ℂ, toujours, en facteurs du premier degré : c'est le théorème fondamental de l'algèbre. Dans ℝ, toujours en facteurs de degré 1 et 2. Dans ℚ, en revanche, beaucoup de polynômes, comme x² − 2, sont irréductibles.
Quelle différence entre racine et facteur ?
Ce sont deux faces de la même chose : a est racine du polynôme si et seulement si (x − a) en est un facteur.
Comment fonctionne ce calcul
Mise en facteur : division par le PGCD des coefficients. Propriété : P(a) = 0 ⇔ (x − a) divise P(x). Racines rationnelles possibles : p/q avec p diviseur du terme constant et q diviseur du coefficient dominant. Trinôme ax² + bx + c : Δ = b² − 4ac, racines x = (−b ± √Δ) / 2a et ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). Degré 4 : (a₁x² + b₁x + c₁)(a₂x² + b₂x + c₂) à coefficients entiers, par identification.
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